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本系列文章为《机器学习实战》学习笔记，内容整理自书本，网络以及自己的理解，如有错误欢迎指正。
源码在Python3.5上测试均通过，代码及数据 --> https://github.com/Wellat/MLaction
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1、算法概述
利用Logistic回归进行分类的主要思想是：根据现有数据对分类边界线建立回归公式，以此进行分类。这里的“ 回归” 一词源于最佳拟合，表示要找到最佳拟合参数集。训练分类器时的做法就是寻找最佳拟合参数，使用的是最优化算法。
在做分类时，我们总是希望分类函数能够接受所有输入然后预测出类别。以两类为例，分类函数输出0或1，我们知道单位阶跃函数满足这种性质。然而，在跳跃点上从0瞬间到1，这个过程有时很难处理，幸好，Sigmoid函数有类似的性质，在数学上更易处理。Sigmoid函数公式如下：
像阶跃函数的Sigmoid的效果图是这样的：
为了实现Logistic回归分类器，我们可以在每个特征上都乘以一个回归系数，然后把所有的结果值相加，将这个总和代入Sigmoid函数中，进而得到一个范围在0~1之间的数值。任何大于0.5的数据被分入1类 ，小于0.5即被归入0类。所以，Logistic回归也可以被看成是一种概率估计。
那么问题来了，这个回归系数要如何确定？且往下看。
2、基于最优化方法的最佳回归系数确定
设输入数据x有n个特征，即n维，由以上知Sigmoid函数的输入z可表示为：
采用向量的写法，上式可以写成 
，向量w就是我们要找的最佳系数。
2.1 梯度上升法
基本思想：要找到某函数的最大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。
如果梯度记为
，则函数 f(x,y) 的梯度表示为：
这个梯度意味着要沿x的方向移动
，沿y的方向移动
。可以看到梯度算子总是指向函数值增长最快的方向。这里所说的是移动方向，而未提到移动量的大小。该量值称为步长，记做α。用向量来表示的话，梯度算法的迭代公式如下：
该公式将一直被迭代执行，直至达到某个停止条件为止，比如迭代次数达到某个指定值或算法达到某个可以允许的误差范围。
基于上面的内容，我们来看Python的实现。
from numpy import * def loadDataSet():
dataMat = []; labelMat = []
fr = open('testSet.txt')
for line in fr.readlines():
lineArr = line.strip().split()
#为方便计算将x0设为1.0
dataMat.append([1.0, float(lineArr[0]), float(lineArr[1])])
labelMat.append(int(lineArr[2]))
return dataMat,labelMat def sigmoid(inX):
return 1.0/(1+exp(-inX)) def gradAscent(dataMatIn, classLabels):
'''
梯度上升算法
dataMatIn:2维NumPy数组 (100x3)
classLabels:类标签 (1x100)
'''
#将输入转换为NumPy矩阵的数据类型
dataMatrix = mat(dataMatIn)
labelMat = mat(classLabels).transpose()
m,n = shape(dataMatrix)
#向目标移动的步长
alpha = 0.001
#迭代次数
maxCycles = 500
weights = ones((n,1))
for k in range(maxCycles):
h = sigmoid(dataMatrix*weights)
error = (labelMat - h)
weights = weights + alpha * dataMatrix.transpose()* error
return weights
2.2 绘制决策边界图
上节解出了一组回归系数，它确定了不同类别数据之间的分隔线，接下来画出这条线。
def plotBestFit(dataMat,labelMat,weights):
'''
画出数据集和Logistic回归最佳拟合直线的函数
'''
import matplotlib.pyplot as plt
dataArr = array(dataMat)
n = shape(dataArr)[0]
xcord1 = []; ycord1 = []
xcord2 = []; ycord2 = []
#根据类别分别保存点
for i in range(n):
if int(labelMat[i])== 1:
xcord1.append(dataArr[i,1]); ycord1.append(dataArr[i,2])
else:
xcord2.append(dataArr[i,1]); ycord2.append(dataArr[i,2])
fig = plt.figure()
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xcord1, ycord1, s=30, c='red', marker='s')
ax.scatter(xcord2, ycord2, s=30, c='green')
x = arange(-3.0, 3.0, 0.1)
#此处设置了Sigmoid的z为0，因为0是两个分类的分界处
#即：0=w0x0+w1x1+w2x2
#注意：x0=1,x1=x,解出x2=y
y = (-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
ax.plot(x, y.transpose())
plt.xlabel('X1'); plt.ylabel('X2');
plt.show()
结果：
2.3 随机梯度上升法
梯度上升算法在每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集，当数据量庞大时，那么此方法计算复杂度就太高了。一种改进方法是一次仅用一个样本点来更新回归系数，该方法称为随机梯度上升算法。
def stocGradAscent1(dataMatrix, classLabels, numIter=500):
'''
改进的随机梯度算法
'''
dataMatrix = array(dataMatrix)
m,n = shape(dataMatrix)
weights = ones(n)
for j in range(numIter):
dataIndex = list(range(m))
for i in range(m):
#alpha会随着迭代次数不断减小，但存在常数项，它不会小到0
#这种设置可以缓解数据波动
alpha = 4/(1.0+j+i)+0.0001
#通过随机选取样本来更新回归系数
randIndex = int(random.uniform(0,len(dataIndex)))
h = sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
error = classLabels[randIndex] - h
weights = weights + alpha * error * dataMatrix[randIndex]
del(dataIndex[randIndex])
return weights
改进的随机梯度算法得到了与GrdientAscent()差不多的分类效果，但是计算复杂度大幅降低。
3、实例：从疝气病症预测病马的死亡率
数据包括368个样本和28个特征，数据集中有30%的值缺失。下面首先介绍如何处理缺失值，之后利用Logistic回归和随机梯度上升算法预测病马的生死。
3.1 处理数据中的缺失值
常用处理缺失值的做法：
- 使用可用特征的均值来填补缺失值；
- 使用特殊值来填补缺失值，如-1；
- 忽略有缺失值的样本；
- 使用相似样本的均值添补缺失值；
- 使用另外的机器学习算法预测缺失值
本例中用0来填充缺失值，因为某特征对应值为0，那么它对系数更新不会产生影响，另外，sigmoid(0)=0.5，它对结果的预测不具有任何倾向性。
若测试数据集中数据的类标签缺失，则丢弃该条数据。
3.2 用Logistic回归进行分类
本例直接使用已预处理的数据，对应horseColicTest.txt和horseColicTraining.txt。
def colicTest():
frTrain = open('horseColicTraining.txt'); frTest = open('horseColicTest.txt')
trainingSet = []; trainingLabels = []
for line in frTrain.readlines():
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr =[]
for i in range(21):
lineArr.append(float(currLine[i]))
trainingSet.append(lineArr)
trainingLabels.append(float(currLine[21]))
trainWeights = stocGradAscent1(trainingSet, trainingLabels, 1000)
errorCount = 0; numTestVec = 0.0
for line in frTest.readlines():
numTestVec += 1.0
currLine = line.strip().split('\t')
lineArr =[]
for i in range(21):
lineArr.append(float(currLine[i]))
if int(classifyVector(array(lineArr), trainWeights))!= int(currLine[21]):
errorCount += 1
errorRate = (float(errorCount)/numTestVec)
print("the error rate of this test is: %f" % errorRate)
return errorRate def multiTest():
'''
多次调用colicTest()函数，求结果的平均值
'''
numTests = 10; errorSum=0.0
for k in range(numTests):
errorSum += colicTest()
print("after %d iterations the average error rate is: %f" % (numTests, errorSum/float(numTests))) def classifyVector(inX, weights):
'''
分类函数
'''
prob = sigmoid(sum(inX*weights))
if prob > 0.5: return 1.0
else: return 0.0
THE END.