math_@多元函数求导@高阶偏导@混合偏导

文章目录

• math_@多元函数求导@高阶偏导@混合偏导

• 复合函数求导法则

• 多元函数与一元函数的复合
• 多元函数于多元函数的复合

• 全微分不变性
• 隐函数的偏导数和微分

• 由一个方程式确定的一元隐函数求导法
• 由一个方程式确定的二元隐函数求导法
• 方程组所确定的一元函数求导法
• 方程组所确定的二元函数求导法

• 多元函数高阶偏导数的计算

• 混合偏导与次序无关????
• 计算技巧
• 含有抽象符号的偏导数与全微分

• 中间变量和自变量混合求导
• 书写技巧
• 例

math_@多元函数求导@高阶偏导@混合偏导

复合函数求导法则

• 例如:表示映射规则(将点用规则映射到函数值
• 
• 当然,如果用规则用字母z表示也是可以的,但是习惯上,用表示映射规则

多元函数与一元函数的复合

• 如果都在点可导,函数在对应点具有连续一阶偏导数

• 多元指的是函数f是多元的
• 一元指的是函数u,v都是一元的,z也是一元的

• 
• 例如:

• 
  
  
  
  
  
  z
  u
  v
  x
• 则复合函数可导,且

多元函数于多元函数的复合

• 如果都在点有对x,y的偏导数
• 函数在对应点具有连续一阶偏导数,则复合函数在点有对x,y的偏导数

• 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  z
  u
  v
  x
  y
• 

• 还可以写成这种形式
• 

• 上面的例子是二元函数复合二元函数

• 更一般的

• 函数可能很简单

• (甚至直接等于某个变量,例如)

• 尽管如此,为了形式上的统一,减少纰漏,仍然建议在树状图上标注相应的层次

• 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  z
  g1
  ...
  gn
  x1
  ....
  xp

• 树状图中的某些边可能缺失(最后一层)

• 对某个自变量(偏)导数的(展开公式中)项数等于最后一层格子(叶子)中的关联边的条数

• 展开式(加式)中(构成)各项的因子的数目=因变量(函数z)到数值末端该变量()之间的数树数目

• 每条路径都可构成一个项
• 每个项含有的因子数是路径上的分支(枝干)数

全微分不变性

• 设函数和都具有连续一阶导数,符合函数

隐函数的偏导数和微分

由一个方程式确定的一元隐函数求导法

• 设有连续一阶偏导数
• 且
• 方程确定的函数y=y(x)可导:
  
• 
  

由一个方程式确定的二元隐函数求导法

• 设有连续一阶偏导数
• 且
• 由方程确定,

方程组所确定的一元函数求导法

• 由方程组

• 
• 可以通过对方程组中的每个方程式两边同时对x,y求导,计算出

• 
• 其中
• 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  F
  x
  u
  v
  x
  

方程组所确定的二元函数求导法

• 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  F
  x
  y
  u
  v
  x.
  y.
• 

• 可以求出
• 可以求出

• 以上均假设分母不为0

多元函数高阶偏导数的计算

• 
• 主要讨论二元函数的二阶偏导数
• 设在区域D内有偏导数

混合偏导与次序无关????

计算技巧

• 由于多元函数的偏导数是将被求导的变量之外的其他变量视为常数

• 在求某个点处的某个变量()的偏导时,可以考虑将意外的变量用具体值代入之后,再求导,可能会更加方面

含有抽象符号的偏导数与全微分

中间变量和自变量混合求导

书写技巧

• 容易发现,上述的写法效率不高,大量的符号使得公式变得冗长起来
• 约定如下写法,来化简中间变量微分的书写

• 二阶偏导
• 
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  z
  m1
  m2
  ...
  x
  y

• 其中m1表示第一个中间变量,m2表示第二个中间变量…

• 
• 
• 往往中间变量分别用来表示

例

• 
• 
• 
• 求