Matlab求解非线性方程的根

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一元非线性方程求解

​​fzero​​函数可以用于求一个一元方程的根。通过用于指定起始区间的单元素起点或双元素向量调用该函数。如果为​​fzero​​提供起点​​x0​​，​​fzero​​将首先搜索函数更改符号的点周围的区间。如果找到该区间，​​fzero​​返回函数更改符号的位置附近的值。如果未找到此类区间，​​fzero​​ 返回 ​​NaN​​。或者，如果知道函数值的符号不同的两个点，可以使用双元素向量指定该起始区间；​​fzero​​ 保证缩小该区间并返回符号更改处附近的值。

以下部分包含两个示例，用于说明如何使用起始区间和起点查找函数的零元素。这些示例使用由 MATLAB提供的函数 ​​humps.m​​。下图显示了 ​​humps​​ 的图。

x = -1:.01:2;
y = humps(x);
plot(x,y)
xlabel('x');
ylabel('humps(x)')
grid on

为 ​​fzero​​ 设置选项

可以通过设置选项控制 ​​fzero​​ 函数的多个方面。使用 ​​optimset​​ 设置选项。常用选项包括：

Parameter	Value	Description
Display	'off' | 'iter' | 'final' | 'notify'	'off' 表示不显示输出; 'iter' 显示每次迭代的结果; 'final' 只显示最终结果; 'notify' 只在函数不收敛的时候显示结果.
MaxFunEvals	positive integer	函数求值运算（Function Evaluation）的最高次数
MaxIter	positive integer	最大迭代次数.
TolFun	positive scalar	函数迭代的终止误差.
TolX	positive scalar	结束迭代的X值.

使用起始区间

​​humps​​ 的图指示 ​​x = -1​​ 时函数为负数，​​x = 1​​ 时函数为正数。可以通过计算这两点的 ​​humps​​ 进行确认。

humps(1)
ans = 16
humps(-1)
ans = -5.1378

因此，可以将 ​​[-1 1]​​ 用作 ​​fzero​​ 的起始区间。

​​fzero​​ 的迭代算法可求 ​​[-1 1]​​ 越来越小的子区间。对于每个子区间，​​humps​​ 在两个端点的符号不同。由于子区间的端点彼此越来越近，因此它们收敛到 ​​humps​​ 的零位置。

要显示 ​​fzero​​ 在每个迭代过程中的进度，请使用 ​​optimset​​ 函数将 ​​Display​​ 选项设置为 ​​iter​​。

options = optimset('Display','iter');

然后如下所示调用 ​​fzero​​：

a = fzero(@humps,[-1 1],options)

 Func-count    x          f(x)             Procedure
    2              -1      -5.13779        initial
    3       -0.513876      -4.02235        interpolation
    4       -0.513876      -4.02235        bisection
    5       -0.473635      -3.83767        interpolation
    6       -0.115287      0.414441        bisection
    7       -0.115287      0.414441        interpolation
    8       -0.132562    -0.0226907        interpolation
    9       -0.131666    -0.0011492        interpolation
   10       -0.131618   1.88371e-07        interpolation
   11       -0.131618   -2.7935e-11        interpolation
   12       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
   13       -0.131618   8.88178e-16        interpolation

Zero found in the interval [-1, 1]
a = -0.1316

每个值 ​​x​​ 代表迄今为止最佳的端点。​​Procedure​​ 列向您显示每步的算法是使用对分还是插值。

可以通过输入以下内容验证 ​​a​​ 中的函数值是否接近零：

humps(a)
ans = 8.8818e-16

起点的使用

假定不知道 ​​humps​​ 的函数值符号不同的两点。在这种情况下，可以选择标量 ​​x0​​ 作为 ​​fzero​​ 的起点。​​fzero​​ 先搜索函数更改符号的点附近的区间。如果 ​​fzero​​ 找到此类区间，它会继续执行上一部分中介绍的算法。如果未找到此类区间，​​fzero​​ 返回 ​​NaN​​。

例如，将起点设置为 ​​-0.2​​，将 ​​Display​​ 选项设置为 ​​Iter​​，并调用 ​​fzero​​：

options = optimset('Display','iter');
a = fzero(@humps,-0.2,options)
Search for an interval around -0.2 containing a sign change:
 Func-count    a          f(a)             b          f(b)        Procedure
    1            -0.2      -1.35385          -0.2      -1.35385   initial interval
    3       -0.194343      -1.26077     -0.205657      -1.44411   search
    5          -0.192      -1.22137        -0.208       -1.4807   search
    7       -0.188686      -1.16477     -0.211314      -1.53167   search
    9          -0.184      -1.08293        -0.216      -1.60224   search
   11       -0.177373     -0.963455     -0.222627      -1.69911   search
   13          -0.168     -0.786636        -0.232      -1.83055   search
   15       -0.154745      -0.51962     -0.245255      -2.00602   search
   17          -0.136     -0.104165        -0.264      -2.23521   search
   18        -0.10949      0.572246        -0.264      -2.23521   search

Search for a zero in the interval [-0.10949, -0.264]:
 Func-count    x          f(x)             Procedure
   18        -0.10949      0.572246        initial
   19       -0.140984     -0.219277        interpolation
   20       -0.132259    -0.0154224        interpolation
   21       -0.131617   3.40729e-05        interpolation
   22       -0.131618  -6.79505e-08        interpolation
   23       -0.131618  -2.98428e-13        interpolation
   24       -0.131618   8.88178e-16        interpolation
   25       -0.131618   8.88178e-16        interpolation

Zero found in the interval [-0.10949, -0.264]


a = -0.1316

每个迭代中当前子区间的端点列在"a和b "下，而端点处的相应 ​​humps​​ 值分别列在 ​​f(a)​​ 和 ​​f(b)​​ 下。

注意：端点 ​​a​​ 和 ​​b​​ 未按任何特定顺序列出：​​a​​ 可能大于 ​​b​​ 或小于 ​​b​​。

对于前 9 步，​​humps​​ 的符号在当前子区间的两端点都为负号，如输出中所示。在第 10 步，​​humps​​ 的符号在 ​​a​​ (​​-0.10949​​) 处为正号，但在 ​​b​​ (​​-0.264​​) 处为负号。从该点开始，如上一部分中所述，算法继续缩小区间 ​​[-0.10949 -0.264]​​，直到它达到值 ​​-0.1316​​。