我们主要从对算术的研究来探讨与理解数学。从历史来说，算术是数学最早的部分之一。在集合论等现代理论出现前，算术一直看作整个数学的基础。相比同样古老的几何，算术更能体现数学抽象符号的使用方式。今天看起来很简单的算术，历史上经历过数千年的发展才成为今天的样式。人类个体学习经历也与此对应，每个正常人从呀呀学语时就开始接触到数数，之后经历漫长的幼儿园与小学的学习，花费十年左右的时间才算掌握了算术。
算术也称为自然数的理论。简单说后续的概念，再加数学完全归纳法构成了算术理论。更完整的一个总结是意大利数学家皮亚诺（peano,1858.8-1932.4）的算术公理系统，用自然语言可陈述如下：
1、0是自然数
2、每一个确定的自然数n，都有一个称为n的后继数s（n）的自然数
3、0不是任何自然数的后继
4、任意二个不同的自然数不能有相同的后继数
5、对于命题P(n)，如果下面二个判断同时成立（这里的“=1”表示命题为真）
P（0）=1
P(n)=1⇒P(s（n）)=1
那么∀n∈N，P(n)=1（N为自然数集）
其中第5公理就是常说的完全归纳法。皮亚诺的工作不仅是整理出算术公理系统，而且最大程度地实现了形式化，即不依靠自然词汇，由抽象符号组成系统，有兴趣的读者可以去参阅更专业的书籍。本书在讲解算术时，有时候为了特定表述简单，自然数假定是从1开始而不是从0开始。
算术漫长发展历史上，关键的进展并不是理论上明白什么原理，并进行相应的总结，如得出上述皮亚诺公理系统那样。在成熟的算术出现前，早期人类主要是通过实物来进行计数与简单的计算。比如一个牧羊人要对其放牧羊群的数量有所掌握，他可以这样做：早上从羊圈里每放出一只羊，就在羊圈门口的特定位置放置一个小石子，所有羊从羊圈出来后所堆成的石堆就是自己羊群的数量，妥善地保管这个石堆；每天晚上放牧回来，每有一只羊进入羊圈，就从早上的石堆拿开一个石子，最后一只羊进圈时正好拿开石堆的最后一个石子，说明今天的羊没有丢失，也没有其他牧羊人的羊混进自己的羊群，或者混入自己的羊群的羊与丢失的羊的数量相同。用石子计数的方法可进一步发展，比如可以匹配二堆石子来比较二群羊的数量熟多熟少。这些方法足够让人满意，自然人们会去寻找方便操作、易于保管，甚至让人喜欢的石子，作为这里的工具，比如小鹅卵石那样；还可能会去制作羊皮袋，专门用于收纳石子。如果牧羊人第二年改为牧牛了，他也会先尝试用石子来对牛计数。这不是完全虚构的描述，英文中的计算一词为“Calculation”，来自拉丁文的“Calculus”，意思是计算用的小石头。
小鹅卵石性质上也是一种中介物，我们通过这种中介物来掌握羊群或牛群的数量。这里的鹅卵石与羊、牛相比，分别是不同的实际事物，用今天的术语来说，是不同的离散事物。代表二群羊的二堆石子，如果大小差不多，我们并不能通过感官分别出哪一个多哪一个少，各是多少，问题看上去似乎并没有解决，只是发生了转移。不同在于鹅卵石容易被我们人类掌管与操作，我们可以轻易把一颗鹅卵石拿过来拿过去，这样我们就容易进行二个石堆的匹配操作，区分出哪一堆石子多，哪一堆少，从而也就知道哪一群羊多。我们也容易进行其他类型的鹅卵石操作，以掌握其他情形下的数量关系或变化。鹅卵石对羊群的计数与计算，只是一种离散事物对另一种离散事物及其变动的模拟操作。容易用来做计数操作的实物还包括我们的身体，特别是我们的十个手指。利用十个手指及身体的其他部位进行计数，这种方法出现在不同区域的各古代文明中。
考察早期人类语言，或者现代处于原始状态部落的语言，可以发现：表达2只羊与表达2头牛，或表达2匹马时，所使用量词不同，数词也可能不同，或者说可以是完全不同的表达。数的抽象性被认为是算术发展的一个难点。还可发现，各种原始语言中，最大的数词是“3”或“4”，更多数量的情况，只能用“很多”“非常多”这样的词汇表达。这表示仅仅依靠我们的感知辨别能力，我们感官能够直接识别清楚的最大数量应该是3，或者4，更多的数量就只有模糊的感知。算术在其漫长的发展过程中，我们看不到什么天才思想带来意识上的突变。更可能是实物计数的操作：拿来拿去石子；在木头上一道道地刻画；在绳子上打结等等，以及这类实物计数操作对不同计数对象的适应性，启发了人类关于自然数的观念，并且让心智顺应了数的抽象性。
今天算术里的数字“1”“2”“3”“4”“5”等，在古代各文明中曾经书写如下：
（图4-1：古代各文明中数字的写法，从上至下分别为古代中国、古巴比伦、罗马、古埃及、古玛雅的写法）
其中，古玛雅文明里1-4就分别是对应数量的圆点来表示，5很可能是5个点，后面演化成了一条线。其他的古代文明大致都是这样的写法。从历史上对数字的书写方式可以推测，人类可能首先是尝试一进制的数字表示，而这可能就是源自用石子、木棍等来计数。一进制的数字，它都不是象形字，它就是纸面上的鹅卵石或木棍，另一种形式的离散事物。这种离散物完全是人类制造的，且只存在于纸面。我们对它们的操作也不同于对石子、木棍的操作，我们是通过后来称为书写的动作来操作这些数字符号。
真正成为符号，一进制并不是好主意。符号使用的一个要求是要制造相互区别明显的符号以表征对应内容上的差异。在符号的辨别上一进制没有什么技巧，数字稍微大些，辨识与书写就变得很困难。从一进制到多进制的位置记数法，是算术发展历史上决定性的步骤。因为人类有二只手十个指头，最终十进制位置记数法得到了普遍采用。十进制下，首先是个位数上采用了阿拉伯数字：1、2、3、4、5、6、7、8、9。关于阿拉伯数字，另一说法是印度人最先使用的。大于9的数字，应用“逢十进一”的规则来形成表示，这样任意大的自然数书写与识别都变得相对容易。在一进制下，每一符号所在的位置与其他符号所在的位置并无区别，它们是平等的。在多进制里，不同位置是不同的“阶”，这样表示法上可以利用二种维度来产生符号上的区别。用实物进行计数时，也可采用某种进制，相比较，符号表示可更容易稳定这种用法。当然这也牺牲了直观性，需要更多的智力来应付。
位置记数法的另一重要意义是让算术计算的总结变得容易，计算的操作也变得简洁。算术的计算包括了加减乘除计算，其中加法计算是基础。减法是加法的逆运算，乘法可由连加运算引入，除法是乘法的逆运算。有了位置记数法及进位规则，再构造加法表（其他的计算可能需要其他的计算表），说明1~9内任意二个数相加的结果，就形成了加法计算实际操作的基础。算术计算要简洁易操作，另一个重要的事情是引入其他抽象符号，如计算符号+、—、×、/、=，这些符号的引入是数学故事的一部分。为了便于理解，还可引入“？”表示填写计算结果的位置。通过位置记数法表示的数字以及上述符号，可编辑组合出算术表达式，任何算术范围内的计算问题可由算术表达式表示。想体会位置记数法下算术计算的简单性，你可以尝试学习下罗马数字下相同计算的操作。
我们可以设定不同的基，来形成不同的进位制。不同的进位制里，进位规则、加法表、乘法表等也不相同。同时各个方面是统一对应地变化，所有的进制原理上仍是一样的。用前面使用过的术语来说，这些不同的系统实际是同构、协变的，都等价于一进制的系统。一进制系统是对小石子计数计算系统的模拟，小石子计数计算系统是用于对各种离散事物数量关系与变化的模拟。这其中不变的是操作，或者说是动作的系统。这些动作系统在实物操作时就获得。简单地说就是将鹅卵石拿来拿去做不同的堆放，以匹配实际对象的变动。完整的操作还包括心智层面，需要理解到操作物是表征实际实物的，对表征物的操作，匹配了实际事物的变动或相互间关系。进一步，手工上的操作也是心理上可以拟想的。这形成一个心理基础，使得实物计数、计算的操作可以向符号迁移。位置记数法可看作对石子顺序堆放时结果状态不断变化的模拟，计算起源于对一类动作累计效果的直接模拟。在古代埃及的符号表示中，是用人脚走近、走远的象形文字表示加法与减法。
十进制的采用使得我们可以保留搬动手指进行计数与计算的操作，这是小学生常见的动作。随着年龄的增长，这类动作也变得少见。简单的情况下，计数动作可以只是在心理上发生，同时顺序念着数字，就可以完成计数工作。简单的算术计算也可由心算完成。进行心算时是想象对某一进制下的具体符号，按算术的规则进行操作来完成的。此时心智上直接操作的对象是符号，而不是其它的心理意象。而且心理上进行计算的想象操作时，主要是对书写符号进行的，对应的声音的符号是第二位的。试着用心算完成398648+47583+36329的计算，对没有专门训练的人来说，这是一个大脑不堪重负的过程，这还只是最简单的加法运算。心算时，心理想象的难度与过程中记忆的负载，使得心算的能力非常有限。
有了纸笔媒介系统，算术计算的整体构思及每一步所要进行的操作，仍需要依靠人脑先在思想里完成。人需要在理解记忆的基础上，进行识别、判断、匹配……不同在于每完成一步思考，可以用笔在纸面按一定的空间形式进行过程与结果记录。有了这种同步记录，之前的过程结果与当前的状态都显示于纸面，无需心理上额外的记忆，大脑所要做的是根据当前情况进行下一步或多步的构思与操作。此时所需面对只是有限的情形，心智的负载已减轻到一般人能胜任的程度。正是纸面记录形成对心智的这种辅助，包括算术计算在内的所有复杂的计算，才成为可能，并得以日益发展。
纸面记录对心智的辅助作用，利用了书写符号的持久性，同时计算同步记录的形式也不再是简单的线性方式，它的空间形式充分利用了纸张平面的二维属性。观察那些如分数、指数、对数、积分等等的符号及符号的计算过程，同样不再固守线性约束。纸笔媒介系统下的这种用法，使数学里的书写符号构造，以及符号的组合排列，可以更*地进行，同时也使计算过程变得更容易操作与理解。
实物的计数计算迁移至视觉符号，发展出实用的算术系统。实物的计数计算并没有退出历史，而是逐步演变为传统的计算工具。如算筹（中国古代的计算工具，二百多根粗细、长短相同的竹棍）、算盘、机械计算机等。计算工具普遍出现于古代的各文明中，计算工具的发展也一直与数学的发展相伴随。在古代中国，数学主要不是围绕视觉符号表示的概念、定理来发展，更多是围绕这些计算工具对各类问题的求解来发展的，这体现了中国古代数学的实用性质。最初计算工具上的操作，只涉及对木棍、木珠等的移动操作，在设计制造良好的工具上，人手很容易进行此类的操作。各种计算只要能形成操作上的规则，计算工具上的计算过程就可以是机械的，更具效率的。
在十进制下，位置记数法的表示里已隐含着0+1=1、1+1=2、2+1=3、3+1=4等，即已包含了后继的概念。提出“后继”概念只是出于对算术系统逻辑整理的需要。说数字表示法、进位规则、计算表、运算律等可看作后继概念演化出的具体内容。这也只是一种理论上的说法。现代数学的发展，除了皮亚诺对算术系统进行了公理化、形式化的总结外，还出现多种理论可以以不同的形式重构算术系统。这些后来的系统都是理论性的，目的是为算术系统提供逻辑上更一般的形式，直觉的认知可以得到证明，系统的无矛盾可以得到保障。位置记数法的算术系统则是面向实际应用，这是二个不同的考虑方向。以皮亚诺算术公理系统为例，它不关注位置记数法与计算表，没有为实际计数、计算提供可直接操作的手段，这些实用上的关键内容，在理论中最多只是一些具体部分，并无特殊的位置。另一方面，实用的算术系统强调应用时的操作性，对逻辑的关注则是有限的，在它的总结中可能未将完全归纳法作为自己的一部分。这些更“现代”的算术系统并不会真正替代作为实用工具的算术系统。算术的计数与计算不只是逻辑问题，从应用的角度，更是一个操作问题。
最后，我们对算术计算给出一个更一般性的描述，这需要稍微进入代数的领域。引入自然数变量符号a、b……利用“=”号与变量符号可以表示四则运算的运算律，它们是交换律：a+b=b+a，结合律：a+(b+c)=(a+b)+c，和分配律：a(b+c)=ab+ac。这些运算律可用完全归纳法证明。这样，算术式可发展为包含自然数、自然数变量符号、以及“+”“=”等符号的代数式，其计算过程的原子步骤就是匹配运算律或计算表，当代数式中某部分内容与运算律或计算表某一项中“=”号左边的内容相当，则可以用“=”号右边的内容进行替换，反之亦然。通过替换不断转换表达式，直到求解出未知数。这是一个机械的操作过程。