基于 RBF 径向基神经网络的自适应控制，原理，实现，Matlab 程序

	径向基
1	径向基RBF(radial basis function)函数、RBF神经网络、 反推(back-stepping)控制

文章目录

• 3. 基于RBF网络逼近的自适应控制
• • 3.1 问题描述
  • 3.2 验证没有未知干扰项的控制器
  • 3.2 RBF 网络原理
  • 3.3 控制算法设计与分析
  • 3.4 仿真实例
• 4. RBF神经网络自适应控制matlab仿真_RBF神经网络及其在控制中的应用简介
• • 1. 采用梯度下降法计算权值
  • 2. 依据稳定性理论设计权值
• 5. RBF神经网络在控制中的应用
• 6. 严格反馈结构
• 7. 反推控制 Backstepping

3. 基于RBF网络逼近的自适应控制

3.1 问题描述

简单的运动系统动力学方程为：
$$\ddot{\theta }=f(\theta ,\dot{\theta })+u\text{\hspace{1em}(1)}$$

其中 $\theta$ 为角度，$u$ 为控制输入。

写成状态方程形式为：
$$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=x_2\\ & {\dot{x}}_2=f(x)+u\end{array}\text{\hspace{1em}(2)}$$

其中 $f(x)$ 为未知非线性函数。

未知指令为 $x_d$，则误差及其变化率为：
$$\begin{array}{rl}e& =x_1-x_d\\ \dot{e}& ={\dot{x}}_1-{\dot{x}}_d\\ & =x_2-{\dot{x}}_d\end{array}$$

定义误差函数为
$$s=ce+\dot{e},c>0\text{\hspace{1em}(3)}$$

则
$$\begin{array}{rl}\dot{s}& =c\dot{e}+\ddot{e}\\ & =c\dot{e}+{\dot{x}}_2-{\ddot{x}}_d\\ & =c\dot{e}+f(x)+u-{\ddot{x}}_d\end{array}\text{\hspace{1em}(4)}$$

由式（3）可知，如果 $s\to 0$，则 $e\to 0$ 且 $\dot{e}\to 0$。

若对滑模控制有了解的，可以发现上述误差函数 (3) 的形式与滑模控制中的滑模面类似，可以看一下文章【控制】滑模控制，滑模面的选择。这里还有滑模的解决方案，也就是趋近律的选择。

借助趋近律 $\dot{s}=-\eta \text{sgn}(s)$，那么基于上式 (4) 可以得到
$$\begin{array}{rl}\dot{s}& =c\dot{e}+f(x)+u-{\ddot{x}}_d=-\eta \text{sgn}(s)\\ u& =-c\dot{e}-f(x)+{\ddot{x}}_d-\eta \text{sgn}(s)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$

式 (5) 就是包含了未知非线性函数 $f(x)$ 的系统控制器。

但是 $f(x)$ 往往是未知的，我们没有一个具体的显式表达式。而这个控制器并不能让系统达到期望输入，根本原因就是 $f(x)$ 的存在影响了系统。

3.2 验证没有未知干扰项的控制器

不过为了方便理解，我们先验证一下没有未知项 $f(x)$ 干扰时的控制器。

也就是将模型式 (2) 简化为
$$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=x_2\\ & {\dot{x}}_2=u\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$

将控制器式 (5) 简化为

$$\begin{array}{rl}u& =-c\dot{e}+{\ddot{x}}_d-\eta \text{sgn}(s)\end{array}\text{\hspace{1em}(7)}$$

系统初始状态为 $x_1(0)=\text{rand}$，$x_2(0)=\text{rand}$。期望状态为 $x_d=\sin (t)$，${\dot{x}}_d=\cos (t)$，${\ddot{x}}_d=-\sin (t)$。参数假设为 $c=1,\eta =1$。
虽然我们把未知干扰项简化掉了，但是我们这里还是给出一个 $f(x)=10x_1{x}_2$。画画图，看看效果。

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首先是没有未知干扰项的仿真结果，如下图所示。

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紧接着给出有 $f(x)$ 的仿真结果。

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最后再把程序给出。

% Paper: 2020_面向多船协同的自适应编队控制方法研究
% Author: Z-JC
% Data: 2022-10-03
clear
clc

%%
% states
x_1(:,1) = rand;
x_2(:,1) = rand;

fx(:,1) = 10 * x_1(:,1) * x_2(:,1);

% Control inputs
u(:,1) = rand;

% Desired 
x_d(:,1) = sin(0);
ddot_x_d(:,1) = cos(0);
dot_x_d(:,1) = -sin(0);

% Parameters
c = 1;
eta = 1;

%% Time state
t(1,1) = 0;
tBegin = 0;
tFinal = 20;
dT = 0.05;
times = (tFinal-tBegin)/dT;

% Iterations
for i=1:times
    % Record time
    t(:,i+1) = t(:,i) + dT;
    
    fx(:,i) = 10 * x_1(:,i) * x_2(:,i);
    
    % error
    x_d(:,i+1) = sin(t(:,i+1));
    e = x_1(:,i) - x_d(:,i+1);
    
    dot_x_d(:,i+1) = cos(t(:,i+1));
    dot_e = x_2(:,i) - dot_x_d(:,i+1);
    
    s = c*e + dot_e;
    
    ddot_x_d(:,i+1) = -sin(t(:,i+1));
    u(:,i+1) = -c*dot_e + ddot_x_d(:,i+1) - eta * sign(s);
    
    % update states
    x_2(:,i+1) = x_2(:,i) + dT * ( 0*fx(:,i)+u(:,i+1) );
    x_1(:,i+1) = x_1(:,i) + dT * x_2(:,i+1);
    
    fx(:,i+1) = 10 * x_1(:,i+1) * x_2(:,i+1);
end

%% Plot results
figure(1)
subplot(2,1,1)
plot(t,x_1, t,x_d, 'linewidth',1.5); hold on
legend('$x_{1}$', '$x_{d}$', 'interpreter','latex');
grid on

subplot(2,1,2)
plot(t,x_2, t,dot_x_d, 'linewidth',1.5); hold on
legend('$x_{2}$', '$\dot{x}_{d}$', 'interpreter', 'latex');
grid on

figure(2)
subplot(2,1,1)
plot(t,u, 'linewidth',1.5); hold on
legend('$u$', 'interpreter','latex');
grid on

subplot(2,1,2)
plot(t,fx, 'linewidth',1.5); hold on
legend('$f(x)$', 'interpreter','latex');
grid on

3.2 RBF 网络原理

对比上述结果也可以看到，$f(x)$ 对系统影响特别大。这时候就需要 RBF 来发挥作用了。

由于 RBF 网络具有万能逼近特性，采用 RBF 神经网络逼近 $f(x)$，网络算法为：
$$h_j=\exp (\frac{\Vert x-c_j{\Vert }^2}{2b_j^2})\text{\hspace{1em}(4)}$$

$$f=W^{\ast \text{T}}h(x)+\epsilon \text{\hspace{1em}(5)}$$

其中，$x$ 为网络的输入，$j$ 为网络隐含层第 $j$ 个节点，$h=[h_j{]}^{\text{T}}$ 为网络的高斯基函数输出，$W^{\ast }$ 为网络的理想权值，$\epsilon$ 为网络的逼近误差，$\epsilon \le {\epsilon }_N$。

网络输入取状态变量 $x=[x_1,x_2{]}^{\text{T}}$，则网络输出为：
$$\hat{f}(x)={\hat{W}}^{\text{T}}h(x)\text{\hspace{1em}(6)}$$

3.3 控制算法设计与分析

由于
$$\begin{array}{rl}f(x)-\hat{f}(x)& =W^{\ast \text{T}}h(x)+\epsilon -{\hat{W}}^{\text{T}}h(x)\\ & =-{\tilde{W}}^{\text{T}}h(x)+\epsilon \end{array}$$

定义 Lyapunov 函数为
$$V=\frac{1}{2}{s}^2+\frac{1}{2\gamma }{\tilde{W}}^{\text{T}}\tilde{W}\text{\hspace{1em}(7)}$$

其中 $\gamma >0,\tilde{W}=\hat{W}-W^{\ast }$。

则
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s\dot{s}+\frac{1}{2\gamma }{\tilde{W}}^{\text{T}}\dot{\hat{W}}\\ & =s(c\dot{e}+f(x)+u-{\ddot{x}}_d)+\frac{1}{2\gamma }{\tilde{W}}^{\text{T}}\dot{\hat{W}}\end{array}$$

设计控制律为
$$u=-c\dot{e}-\hat{f}(x)+{\ddot{x}}_d-\eta \text{sgn}(s)\text{\hspace{1em}(8)}$$

则
$$\begin{array}{rl}\dot{V}& =s(f(x)-\hat{f}(x)-\eta \text{sgn}(s))+\frac{1}{\gamma }{\tilde{W}}^{\text{T}}\dot{\hat{W}}\\ & =s(-{\tilde{W}}^{\text{T}}h(x)+\epsilon -\eta \text{sgn}(x))+\frac{1}{\gamma }{\tilde{W}}^{\text{T}}\dot{\hat{W}}\\ & =\epsilon s-\eta |s|+{\tilde{W}}^{\text{T}}(\frac{1}{\gamma }\dot{\hat{W}}-sh(x))\end{array}$$

取 $\eta >|\epsilon {|}_{\max }$，自适应律为
$$\dot{\hat{W}}=\gamma sh(x)\text{\hspace{1em}(9)}$$

则 $\dot{V}=\epsilon s-\eta |s|<0$。

3.4 仿真实例

考虑如下被控对象
$$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=x_2\\ & {\dot{x}}_2=f(x)+u\end{array}$$

其中 $f(x)=10x_1{x}_2$。

控制律采用式（8），自适应律采用式（9），取 $\gamma =500,\eta =0.50$。根据网络的输入 $x_1$ 和 $x_2$ 的实际范围，高斯基函数的参数 $c_i$ 和 $b_i$ 的取值分别为 [-2 -1 0 1 2] 和 3.0。网络权值矩阵中各个元素的初始值取 0.10。

仿真结果如下图所示。

Ref: 一种简单的基于RBF网络逼近的自适应控制

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4. RBF神经网络自适应控制matlab仿真_RBF神经网络及其在控制中的应用简介

RBF神经网络在控制中的应用，可以按其隐含层与输出层连接权值的计算方式分为以下两类：

1. 采用梯度下降法计算权值

2. 依据稳定性理论设计权值

依据稳定性理论设计权值，即通过分析系统的Lyapunov稳定性，设计权值，从而保证系统的稳定性和收敛性。

考虑如下二阶非线性系统，以自适应RBF控制器的设计为例，对该权值设计方式进行简要介绍。

$$\ddot{x}=f(x,\dot{x})+g(x,\dot{x})u\text{\hspace{1em}(3)}$$

其中，$f$ 为未知非线性函数，$g$ 为已知非线性函数；$u\in {\mathbb{R}}^n$ 和 $y\in {\mathbb{R}}^n$ 分别为系统的控制输入和输出。

令 $x_1=x,x_2=\dot{x}$ 和 $y=x_1$，（3）式可改写为

$$\begin{array}{rl}& {\dot{x}}_1=x_2\\ & {\dot{x}}_2=f(x_1,x_2)+g(x_1,x_2)u\\ & y=x_1\end{array}$$

设理想跟踪指令为 $y_d$，则误差为
$$\begin{array}{rl}e& =y_d-y\\ & =y_d-x_1\\ E& =[e,\dot{e}{]}^{\text{T}}\end{array}$$

设计 $K=[k_p,k_d{]}^{\text{T}}$ 使多项式 $s^2+k_{d}s+k_p=0$ 的根都在左半复平面。

将 RBF 神经网络的输出代替式（3）中未知函数，可设计控制律为
$$u=\frac{1}{g(x)}[]$$

Ref: rbf神经网络自适应控制matlab仿真_RBF神经网络及其在控制中的应用简介

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5. RBF神经网络在控制中的应用

Ref: RBF神经网络参考模型自适应MATLAB实现（分析）

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6. 严格反馈结构

控制理论中，什么是严格反馈结构？

严格反馈系统和纯反馈系统的区别是？

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7. 反推控制 Backstepping

反推控制

学习笔记（1）——反步控制法

反步（Back-Stepping）设计方法

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