1 题目
Given two numbers represented as strings, return multiplication of the numbers as a string.
Note: The numbers can be arbitrarily large and are non-negative.
接口: public String multiply(String num1, String num2);
2 思路
大整数的乘法，不能够简单用Integer.valueOf(String s)，会产生溢出错误。
我们先来看一下289*758的计算过程：
首先我们把每一位相乘，得到一个没有进位的临时结果，如图中中间的一行红色数字就是临时结果（最多只有m + n - 1个，可以用数组保存），然后把临时结果从低位起依次进位。
对于一个m位整数乘以n位整数的结果，最后得到的结果最多是m+n位。
因此，得出下面的算法：
1.翻转string
2.建立中间结果数组，循环遍历两个string，把单位的乘积累加到数组相应的位置
3.处理进位并输出
4.注意前导零的测试用例和测试用例（0,0）
我们有趣的发现， 红色的中间结果是有规律的：
- 109 = 88 + 95；这两对乘积所取的元素下标是(1,0)和（0,1），下标的和是1。
- 110 = 28 + 85 + 9*7；这三对乘积所取的元素下标是(2,0) (1,1) (0,2),下标的和是2。
利用这个特性，可以计算出中间结果数组。
复杂度: Time: O(n^2) ; Space: O(m + n)
3 代码
public String multiply(String num1, String num2) {
StringBuilder s1 = new StringBuilder(num1).reverse();
StringBuilder s2 = new StringBuilder(num2).reverse();
final int len1 = s1.length();
final int len2 = s2.length();
int[] tmp = new int[len1 + len2 - 1];
for (int i = 0; i < len1; i++) {
for (int j = 0; j < len2; j++) {
tmp[i + j] += (s1.charAt(i) - '0') * (s2.charAt(j) - '0');
}
}
StringBuilder result = new StringBuilder(len1 + len2);
for (int i = 0; i < tmp.length; i++) {
int mod = tmp[i] % 10;
int carry = tmp[i] / 10;
if (i + 1 < tmp.length) {
tmp[i + 1] += carry;
result.insert(0, mod);
} else {
result.insert(0, tmp[i]);
}
}
while (result.charAt(0) == '0' && result.length() > 1) {
result.deleteCharAt(0);
}
return result.toString();
}
4 总结
- 想出利用中间的乘积结果来计算乘积是关键。
- 如何求中间结果是有规律的。
5 扩展
更高效的计算大整数乘法一般有：
1.karatsuba算法，复杂度为3nlog3≈3n1.585，可以参考百度百科、面试题——大整数乘法、乘法算法-Karatsuba算法。
2.基于FFT(快速傅里叶变换)的算法，复杂度为o(nlogn), 可以参考FFT, 卷积, 多项式乘法, 大整数乘法