题目描述
称一个1,2,...,N的排列P1,P2...,Pn是Magic的，当且仅当2<=i<=N时，Pi>Pi/2. 计算1，2，...N的排列中有多少是Magic的，答案可能很大，只能输出模P以后的值
输入输出格式
输入格式：
输入文件的第一行包含两个整数 n和p，含义如上所述。
输出格式：
输出文件中仅包含一个整数，表示计算1,2,⋯, ���的排列中， Magic排列的个数模 p的值。
输入输出样例
说明
100%的数据中，1 ≤N ≤ 10^6, P≤ 10^9，p是一个质数。
题解
数位dp？这怕不是个树位dp……
我们把原序列看成一棵二叉树
那么就是要我们求大小为$n$的小根堆有多少个（就是父节点比左右儿子都小）
那么考虑dp，设$dp[i]$表示有多少个大小为$i$的小根堆，$val[i]$表示$i$的子树的大小
因为父亲必须小于儿子，所以根节点只能是最小的点，那么剩下的$i-1$个点里有$val[l]$个可以放在左子树，剩下的都可以放在右子树，方案数为$C_{i-1}^{val[l]}$
然后因为选不同的点之后还能有不同的方案，所以还要乘上方案数
所以最后的状态转移方程是这样的$dp[i]=C_{i-1}^{val[l]}*dp[val[l]]*dp[val[r]]$
然后因为要组合数取模，得用上Lucas定理
//minamoto
#include<cstdio>
#define ll long long
const int N=1e6+;
ll inv[N],fac[N],val[N],dp[N],n,mod;
#define min(a,b) ((a)<(b)?(a):(b))
ll qpow(ll x,ll y){
ll res=;
while(y){
if(y&) res=res*x%mod;
y>>=,x=x*x%mod;
}
return res;
}
void init(){
int k=min(n,mod-);
fac[]=fac[]=;
for(int i=;i<=k;++i) fac[i]=fac[i-]*i%mod; inv[k]=qpow(fac[k],mod-);
for(int i=k-;i;--i) inv[i]=(i+)*inv[i+]%mod;
}
ll C(ll n,ll m){
if(m>n) return ;
return fac[n]*inv[m]%mod*inv[n-m]%mod;
}
ll Lucas(ll n,ll m){
if(m==||m==n) return ;
return Lucas(n/mod,m/mod)*C(n%mod,m%mod)%mod;
}
int main(){
//freopen("testdata.in","r",stdin);
scanf("%lld%lld",&n,&mod);init();
for(int i=n;i;--i){
val[i]=;if((i<<)<=n) val[i]+=val[i<<];if((i<<|)<=n) val[i]+=val[i<<|];
if((i<<|)<=n) dp[i]=Lucas(val[i]-,val[i<<])*dp[i<<]%mod*dp[i<<|]%mod;
else if((i<<)<=n) dp[i]=dp[i<<];
else dp[i]=;
}
printf("%lld\n",dp[]);
return ;
}