最小生成树和图的遍历

时间:2021-07-22 13:43:52

Prim算法

1.概览

普里姆算法Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点英语Vertex (graph theory),且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克英语Vojtěch Jarník发现;并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆英语Robert C. Prim独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此,在某些场合,普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。

 

2.算法简单描述

1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;

2).初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {},为空;

3).重复下列操作,直到Vnew = V:

a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,其中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);

b.将v加入集合Vnew中,将<u, v>边加入集合Enew中;

4).输出:使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。

 

下面对算法的图例描述

图例 说明 不可选 可选 已选(Vnew
 

最小生成树和图的遍历

此为原始的加权连通图。每条边一侧的数字代表其权值。 - - -

最小生成树和图的遍历

顶点D被任意选为起始点。顶点ABEF通过单条边与D相连。A是距离D最近的顶点,因此将A及对应边AD以高亮表示。 C, G A, B, E, F D
 

最小生成树和图的遍历

下一个顶点为距离DA最近的顶点。BD为9,距A为7,E为15,F为6。因此,FDA最近,因此将顶点F与相应边DF以高亮表示。 C, G B, E, F A, D
最小生成树和图的遍历 算法继续重复上面的步骤。距离A为7的顶点B被高亮表示。 C B, E, G A, D, F
 

最小生成树和图的遍历

在当前情况下,可以在CEG间进行选择。CB为8,EB为7,GF为11。E最近,因此将顶点E与相应边BE高亮表示。 C, E, G A, D, F, B
 

最小生成树和图的遍历

这里,可供选择的顶点只有CGCE为5,GE为9,故选取C,并与边EC一同高亮表示。 C, G A, D, F, B, E

最小生成树和图的遍历

顶点G是唯一剩下的顶点,它距F为11,距E为9,E最近,故高亮表示G及相应边EG G A, D, F, B, E, C

最小生成树和图的遍历

现在,所有顶点均已被选取,图中绿色部分即为连通图的最小生成树。在此例中,最小生成树的权值之和为39。 A, D, F, B, E, C, G

 

3.简单证明prim算法

反证法:假设prim生成的不是最小生成树

1).设prim生成的树为G0

2).假设存在Gmin使得cost(Gmin)<cost(G0)   则在Gmin中存在<u,v>不属于G0

3).将<u,v>加入G0中可得一个环,且<u,v>不是该环的最长边(这是因为<u,v>∈Gmin)

4).这与prim每次生成最短边矛盾

5).故假设不成立,命题得证.

 

 

 4.算法代码实现(未检验)

最小生成树和图的遍历
#define MAX  100000
#define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10

int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0}; //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM]; //标记某点是否加入Vnew
int adjecent[VNUM]={0}; //记录V中与Vnew最邻近的点


void prim(int start)
{
int sumweight=0;
int i,j,k=0;

for(i=1;i<VNUM;i++) //顶点是从1开始
{
lowcost[i]
=edge[start][i];
addvnew[i]
=-1; //将所有点至于Vnew之外,V之内,这里只要对应的为-1,就表示在Vnew之外
}

addvnew[start]
=0; //将起始点start加入Vnew
adjecent[start]=start;

for(i=1;i<VNUM-1;i++)
{
int min=MAX;
int v=-1;
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min) //在Vnew之外寻找最短路径
{
min
=lowcost[j];
v
=j;
}
}
if(v!=-1)
{
printf(
"%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
addvnew[v]
=0; //将v加Vnew

sumweight
+=lowcost[v]; //计算路径长度之和
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])
{
lowcost[j]
=edge[v][j]; //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
adjecent[j]=v;
}
}
}
}
printf(
"the minmum weight is %d",sumweight);
}
最小生成树和图的遍历

 

5.时间复杂度

这里记顶点数v,边数e

邻接矩阵:O(v2)                 邻接表:O(elog2v)

 

 

 

Kruskal算法

 

1.概览

Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。

 

2.算法简单描述

1).记Graph中有v个顶点,e个边

2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点,但没有边

3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序

4).循环:从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中

                if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中

                                         添加这条边到图Graphnew

 

图例描述:

最小生成树和图的遍历首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边 

最小生成树和图的遍历

 

将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图

 

 

 

最小生成树和图的遍历在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5

最小生成树和图的遍历依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。

最小生成树和图的遍历

下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。

最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右:

 

 

 

3.简单证明Kruskal算法

对图的顶点数n做归纳,证明Kruskal算法对任意n阶图适用。

归纳基础:

n=1,显然能够找到最小生成树。

归纳过程:

假设Kruskal算法对n≤k阶图适用,那么,在k+1阶图G中,我们把最短边的两个端点a和b做一个合并操作,即把u与v合为一个点v',把原来接在u和v的边都接到v'上去,这样就能够得到一个k阶图G'(u,v的合并是k+1少一条边),G'最小生成树T'可以用Kruskal算法得到。

我们证明T'+{<u,v>}是G的最小生成树。

用反证法,如果T'+{<u,v>}不是最小生成树,最小生成树是T,即W(T)<W(T'+{<u,v>})。显然T应该包含<u,v>,否则,可以用<u,v>加入到T中,形成一个环,删除环上原有的任意一条边,形成一棵更小权值的生成树。而T-{<u,v>},是G'的生成树。所以W(T-{<u,v>})<=W(T'),也就是W(T)<=W(T')+W(<u,v>)=W(T'+{<u,v>}),产生了矛盾。于是假设不成立,T'+{<u,v>}是G的最小生成树,Kruskal算法对k+1阶图也适用。

由数学归纳法,Kruskal算法得证。

 

 

 

4.代码算法实现

最小生成树和图的遍历
typedef struct          
{
char vertex[VertexNum]; //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
int n,e; //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;

typedef
struct node
{
int u; //边的起始顶点
int v; //边的终止顶点
int w; //边的权值
}Edge;

void kruskal(MGraph G)
{
int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k;
int vset[VertexNum]; //辅助数组,判定两个顶点是否连通
int E[EdgeNum]; //存放所有的边
k=0; //E数组的下标从0开始
for (i=0;i<G.n;i++)
{
for (j=0;j<G.n;j++)
{
if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)
{
E[k].u
=i;
E[k].v
=j;
E[k].w
=G.edges[i][j];
k
++;
}
}
}
heapsort(E,k,
sizeof(E[0])); //堆排序,按权值从小到大排列
for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组
{
vset[i]
=i;
}
k
=1; //生成的边数,最后要刚好为总边数
j=0; //E中的下标
while (k<G.n)
{
sn1
=vset[E[j].u];
sn2
=vset[E[j].v]; //得到两顶点属于的集合编号
if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话,把边加入最小生成树
{
printf(
"%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);
k
++;
for (i=0;i<G.n;i++)
{
if (vset[i]==sn2)
{
vset[i]
=sn1;
}
}
}
j
++;
}
}
最小生成树和图的遍历


时间复杂度:elog2e  e为图中的边数

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图的遍历是树的遍历的推广,是按照某种规则(或次序)访问图中各顶点依次且仅一次的操作,亦是将网络结构按某种规则线性化的过程。
 
由于图存在回路,为区别一顶点是否被访问过和避免顶点被多次访问,在遍历过程中,应记下每个访问过的顶点,即每个顶点对应有一个标志位,初始为False,一旦该顶点被访问,就将其置为True,以后若又碰到该顶点时,视其标志的状态,而决定是否对其访问。
对图的遍历通常有"深度优先搜索"和"广度优先搜索"方法,二者是人工智能的一个基础。
深度优先搜索(Depth First Search,简称DFS)
算法思路:
类似树的先根遍历。设初始化时,图中各顶点均未被访问,从图中某个顶点(设为V0)出发,访问V0,然后搜索V0的一个邻接点Vi,若Vi未被访问,则访问之,在 搜索Vi的一个邻接点(深度优先)...。若某顶点的邻接点全部访问完毕,则回溯(Backtracking)到它的上一顶点,然后再从此顶点又按深度优先的方法搜索下去,...,直到能访问的顶点都访问完毕为止。
设图G10如下图所示: 最小生成树和图的遍历   通过深度优先如下: 最小生成树和图的遍历   广度优先搜索(Breadth First Search),简称BFS
算法思路:
类似树的按层次遍历。初始时,图中各顶点均未被访问,从图中某顶点(V0)出发,访问V0,并依次访问V0的各邻接点(广度优先)。然后,分别从这些被访问过的顶点出发,扔仍按照广度优先的策略搜索其它顶点,....,直到能访问的顶点都访问完毕为止。
为控制广度优先的正确搜索,要用到队列技术,即访问完一个顶点后,让该顶点的序号进队。然后取相应队头(出队),考察访问过的顶点的各邻接点,将未访问过的邻接点访问 后再依次进队,...,直到队空为止。
通过广度优先如下:
  最小生成树和图的遍历 下面看一下实现代码:
  1. #include <stdio.h>
  2. #include <stdlib.h>
  3. #include <string.h>

  4. #define MAX 20

  5. //访问记录
  6. int visit[MAX];

  7. //图的结构设计
  8. typedef struct
  9. {
  10.     int vex[MAX];//记录顶点
  11.     int adjmatrix[MAX][MAX];//邻接矩阵
  12.     int n;//顶点的个数
  13. }GRAPH;

  14. //初始化图
  15. int init_graph(GRAPH *pG)
  16. {

  17.     memset(pG,0,sizeof(GRAPH));
  18.     pG->= -1;

  19.     printf("input vex\n");
  20.     while(scanf("%d",&pG->vex[++pG->n]));
  21.     while(getchar() != '\n');

  22. #ifndef _DEBUG_
  23.     int i = 0;

  24.     for(= 0;< pG->;++)
  25.     {
  26.         printf("V%d ",pG->vex[i]);
  27.     }

  28.     printf("\n");    
  29. #endif
  30.     
  31.     return 0;
  32. }

  33. //获取顶点的位置
  34. int locatevex(GRAPH *pG,int vex)
  35. {
  36.     int i = 0;

  37.     for(= 0;< pG->n;++)
  38.     {
  39.         if(pG->vex[i] == vex )
  40.             return i;
  41.     }
  42.     
  43.     return 0;
  44. }

  45. //输入图的顶点之间的边
  46. int input_edge(GRAPH *pG)
  47. {
  48.     int vex1,vex2;
  49.     int i,j;

  50.     printf("input edge(i,j):\n");
  51.     //任意字母键结束
  52.     while(scanf("(%d,%d)",&vex1,&vex2))
  53.     {
  54.         getchar();
  55.         i = locatevex(pG,vex1);
  56.         j = locatevex(pG,vex2);
  57.         pG->adjmatrix[i][j] = pG->adjmatrix[j][i] = 1;
  58.     }

  59. #ifndef _DEBUG_
  60.     int m,n;

  61.     for(= 0;< pG->n;++)
  62.     {
  63.         for(= 0;< pG->n; n ++)
  64.         {
  65.             printf("%d ",pG->adjmatrix[m][n]);
  66.         }

  67.         printf("\n");
  68.     }

  69. #endif

  70.     return 0;
  71. }

  72. //栈的设计
  73. typedef struct
  74. {
  75.     int buf[MAX];
  76.     int n;
  77. }Stack;

  78. //创建空栈
  79. Stack *create_empty_stack()
  80. {
  81.     Stack *stack;

  82.     stack = (Stack *)malloc(sizeof(Stack));
  83.     stack->= -1;

  84.     return stack;
  85. }

  86. //出栈
  87. int pop_stack(Stack *stack)
  88. {
  89.     int temp;

  90.     temp = stack->buf[stack->n];
  91.     stack->--;

  92.     return temp;
  93. }

  94. //入栈
  95. int push_stack(Stack *stack,int data)
  96. {
  97.     stack->++;
  98.     stack->buf[stack->n] = data;

  99.     return 0;
  100. }

  101. //判断空栈
  102. int is_empty_stack(Stack *stack)
  103. {
  104.     if(stack->== -1)
  105.         return 1;
  106.     else
  107.         return 0;
  108. }

  109. int visit_all(GRAPH *pG)
  110. {
  111.     int i = 0;
  112.     
  113.     for(= 0;< pG->n; i ++)
  114.     {
  115.         if(visit[i] != 1)
  116.             break;
  117.     }

  118.     if(== pG->n)
  119.         return 1;
  120.     else
  121.         return 0;
  122. }

  123. //图的深度非递归遍历
  124. int DFS(GRAPH *pG,int v)
  125. {
  126.     Stack *stack;
  127.     int i = 0;
  128.     
  129.     stack = create_empty_stack();
  130.     push_stack(stack,pG->vex[v]);
  131.     visit[v] = 1;
  132.     printf("V%d ",pG->vex[v]);
  133.     
  134.     while(!is_empty_stack(stack) || !visit_all(pG))
  135.     {
  136.         for(= 0;< pG->n;++)
  137.         {
  138.             if(visit[i] == 0 && pG->adjmatrix[v][i] == 1)
  139.                 break;
  140.         }

  141.         if(== pG->n)
  142.         {
  143.             v = pop_stack(stack);
  144.             
  145.         }else{
  146.         
  147.             v = i;
  148.             push_stack(stack,pG->vex[v]);
  149.             visit[v] = 1;
  150.             printf("V%d ",pG->vex[v]);
  151.         }
  152.     }

  153.     printf("\n");

  154.     return 0;
  155. }

  156. //队列的设计
  157. typedef struct node
  158. {
  159.     int data;
  160.     struct node *next;
  161.     
  162. }ListNode;

  163. typedef struct
  164. {
  165.     ListNode *front;
  166.     ListNode *rear;
  167. }Queue;

  168. //创建空队列
  169. Queue *create_empty_queue()
  170. {
  171.     Queue *queue;
  172.     ListNode *head;

  173.     queue = (Queue *)malloc(sizeof(Queue));
  174.     head = (ListNode *)malloc(sizeof(ListNode));

  175.     queue->front = queue->rear = head;

  176.     return queue;
  177. }

  178. //判断队列是否为空
  179. int is_empty_queue(Queue *queue)
  180. {
  181.     if(queue->rear == queue->front)
  182.         return 1;
  183.     else
  184.         return 0;
  185. }

  186. //入队
  187. int EnterQueue(Queue *queue,int data)
  188. {
  189.     ListNode *temp;

  190.     temp = (ListNode *)malloc(sizeof(ListNode));
  191.     temp->data = data;
  192.     temp->next = NULL;

  193.     queue->rear->next = temp;
  194.     queue->rear = temp;

  195.     return 0;
  196. }

  197. //出队
  198. int DelQueue(Queue *queue)
  199. {
  200.     ListNode *temp;

  201.     temp = queue->front;
  202.     queue->front = queue->front->next;
  203.     free(temp);
  204.     temp = NULL;

  205.     return queue->front->data;
  206. }

  207. //图的广度遍历
  208. int BFS(GRAPH *pG,int v)
  209. {
  210.     Queue *queue = create_empty_queue();
  211.     int i = 0;
  212.     
  213.     memset(&visit,0,sizeof(visit));

  214.     EnterQueue(queue,v);
  215.     visit[v] = 1;

  216.     while(!is_empty_queue(queue))
  217.     {
  218.         v = DelQueue(queue);
  219.         printf("V%d ",pG->vex[v]);
  220.                 
  221.         
  222.         for(= 0;< pG->n;++)
  223.         {
  224.             if(visit[i] == 0 && pG->adjmatrix[v][i] == 1)
  225.             {
  226.                 EnterQueue(queue,i);
  227.                 visit[i] = 1;
  228.             }
  229.         }
  230.     }

  231.     printf("\n");

  232.     return 0;
  233. }

  234. int main()
  235. {
  236.     GRAPH G;
  237.     int n;

  238.     //输入顶点,初始化图
  239.     init_graph(&G);

  240.     //初始化邻接矩阵
  241.     input_edge(&G);

  242.     //图的深度遍历
  243.     DFS(&G, 0);

  244.     //图的广度遍历
  245.     BFS(&G,0);
  246.     
  247.     return 0;
  248. }
输出结果: 最小生成树和图的遍历