图的广度遍历、深度遍历及最小生成树书算法(Prim、Kruskal)

时间:2021-08-17 12:28:37

一.DFS(深度优先遍历)

       深度优先搜索算法(Depth-First-Search),是搜索算法的一种。它沿着树的深度遍历树的节点,尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所有边都己被探寻过,搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点,则选择其中一个作为源节点并重复以上过程,整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。DFS 属于盲目搜索。

深度优先搜索是图论中的经典算法,利用深度优先搜索算法可以产生目标图的相应拓扑排序表,利用拓扑排序表可以方便的解决很多相关的图论问题,如最大路径问题等等。一般用堆数据结构来辅助实现 DFS 算法。

深度优先遍历图算法步骤:

  1.  访问顶点v;

  2.  依次从v的未被访问的邻接点出发,对图进行深度优先遍历;直至图中和v有路径相通的顶点都被访问;

  3.  若此时图中尚有顶点未被访问,则从一个未被访问的顶点出发,重新进行深度优先遍历,直到图中所有顶点均被访问过为止。

  上述描述可能比较抽象,举个实例:

  DFS 在访问图中某一起始顶点 v 后,由 v 出发,访问它的任一邻接顶点 w1;再从 w1 出发,访问与 w1 邻 接但还没有访问过的顶点 w2;然后再从 w2 出发,进行类似的访问,… 如此进行下去,直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止。

  接着,退回一步,退到前一次刚访问过的顶点,看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。如果有,则访问此顶点,之后再从此顶点出发,进行与前述类似的访问;如果没有,就再退回一步进行搜索。重复上述过程,直到连通图中所有顶点都被访问过为止。

//深度优先遍历:   
void DFSTraverse ( Graph G )
{
visited [0 .. G.vexnum-1] = false; // 初始化访问标志为未访问(false)
for ( v = 0; v < G.vexnum; v ++ )
if ( ! visited[v] ) DFS ( G, v ); // 从未被访问的顶点开始DFS
}

void DFS ( Graph G, int v )
{
visit ( v ); visited [v] = true; // 访问顶点v并作标记
for ( w = FirstAdjVex(G,v); w >= 0; w = NextAdjVex(G,v,w) )
if ( ! visited[w] ) DFS ( G, w ); // 分别从每个未访问的邻接点开始DFS
}

二.BFS (广度优先遍历)

        广度优先搜索算法(Breadth-First-Search),是一种图形搜索算法。简单的说,BFS 是从根节点开始,沿着树(图)的宽度遍历树(图)的节点。如果所有节点均被访问,则算法中止。BFS 同样属于盲目搜索。一般用队列数据结构来辅助实现 BFS 算法。

  算法步骤:

  1.  首先将根节点放入队列中。

  2.  从队列中取出第一个节点,并检验它是否为目标。

    • 如果找到目标,则结束搜寻并回传结果。
    • 否则将它所有尚未检验过的直接子节点加入队列中。

  3.  若队列为空,表示整张图都检查过了——亦即图中没有欲搜寻的目标。结束搜寻并回传“找不到目标”。

  4.  重复步骤2。

//广度优先遍历:利用队列(类似按层遍历二叉树)。
void BFSTraverse ( Graph G )
{
visited [0 .. G.vexnum-1] = false; // 初始化访问标志为未访问(false)
InitQueue ( Q );
for ( v = 0; v < G.vexnum; v++ )
if ( ! visited[v] )
{
// 从v出发广度优先搜索
visit ( v ); visited [v] = true;
EnQueue ( Q, v );
while ( ! QueueEmpty(Q) )
{
DeQueue ( Q, u );
for ( w = FirstAdjVex(G,u); w >= 0; w = NextAdjVex(G,u,w) )
if ( ! visited[w] )
{
visit ( w ); visited [w] = true;
EnQueue ( Q, w );
}
}
}
}

3、Prim算法

1.概览
普里姆算法Prim算法),图论中的一种算法,可在加权连通图里搜索最小生成树。意即由此算法搜索到的边子集所构成的树中,不但包括了连通图里的所有顶点英语Vertex (graph theory),且其所有边的权值之和亦为最小。该算法于1930年由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克英语Vojtěch Jarník发现;并在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆英语Robert C. Prim独立发现;1959年,艾兹格·迪科斯彻再次发现了该算法。因此,在某些场合,普里姆算法又被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。
 
2.算法简单描述
1).输入:一个加权连通图,其中顶点集合为V,边集合为E;
2).初始化:Vnew = {x},其中x为集合V中的任一节点(起始点),Enew = {},为空;
3).重复下列操作,直到Vnew = V:
a.在集合E中选取权值最小的边<u, v>,其中u为集合Vnew中的元素,而v不在Vnew集合当中,并且v∈V(如果存在有多条满足前述条件即具有相同权值的边,则可任意选取其中之一);
b.将v加入集合Vnew中,将<u, v>边加入集合Enew中;
4).输出:使用集合Vnew和Enew来描述所得到的最小生成树。
 
 
代码实现:
#define MAX  100000
#define VNUM 10+1 //这里没有ID为0的点,so id号范围1~10

int edge[VNUM][VNUM]={/*输入的邻接矩阵*/};
int lowcost[VNUM]={0}; //记录Vnew中每个点到V中邻接点的最短边
int addvnew[VNUM]; //标记某点是否加入Vnew
int adjecent[VNUM]={0}; //记录V中与Vnew最邻近的点


void prim(int start)
{
int sumweight=0;
int i,j,k=0;

for(i=1;i<VNUM;i++) //顶点是从1开始
{
lowcost[i]=edge[start][i];
addvnew[i]=-1; //将所有点至于Vnew之外,V之内,这里只要对应的为-1,就表示在Vnew之外
}

addvnew[start]=0; //将起始点start加入Vnew
adjecent[start]=start;

for(i=1;i<VNUM-1;i++)
{
int min=MAX;
int v=-1;
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]!=-1&&lowcost[j]<min) //在Vnew之外寻找最短路径
{
min=lowcost[j];
v=j;
}
}
if(v!=-1)
{
printf("%d %d %d\n",adjecent[v],v,lowcost[v]);
addvnew[v]=0; //将v加Vnew中

sumweight+=lowcost[v]; //计算路径长度之和
for(j=1;j<VNUM;j++)
{
if(addvnew[j]==-1&&edge[v][j]<lowcost[j])
{
lowcost[j]=edge[v][j]; //此时v点加入Vnew 需要更新lowcost
adjecent[j]=v;
}
}
}
}
printf("the minmum weight is %d",sumweight);
}

四、Kruskal算法

1.概览
Kruskal算法是一种用来寻找最小生成树的算法,由Joseph Kruskal在1956年发表。用来解决同样问题的还有Prim算法和Boruvka算法等。三种算法都是贪婪算法的应用。和Boruvka算法不同的地方是,Kruskal算法在图中存在相同权值的边时也有效。
 
2.算法简单描述
1).记Graph中有v个顶点,e个边
2).新建图Graphnew,Graphnew中拥有原图中相同的e个顶点,但没有边
3).将原图Graph中所有e个边按权值从小到大排序
4).循环:从权值最小的边开始遍历每条边 直至图Graph中所有的节点都在同一个连通分量中
                if 这条边连接的两个节点于图Graphnew中不在同一个连通分量中
                                         添加这条边到图Graphnew
 
图例描述:
图的广度遍历、深度遍历及最小生成树书算法(Prim、Kruskal)首先第一步,我们有一张图Graph,有若干点和边 
图的广度遍历、深度遍历及最小生成树书算法(Prim、Kruskal)
 
将所有的边的长度排序,用排序的结果作为我们选择边的依据。这里再次体现了贪心算法的思想。资源排序,对局部最优的资源进行选择,排序完成后,我们率先选择了边AD。这样我们的图就变成了右图
 图的广度遍历、深度遍历及最小生成树书算法(Prim、Kruskal)在剩下的变中寻找。我们找到了CE。这里边的权重也是5
图的广度遍历、深度遍历及最小生成树书算法(Prim、Kruskal)依次类推我们找到了6,7,7,即DF,AB,BE。
图的广度遍历、深度遍历及最小生成树书算法(Prim、Kruskal)
下面继续选择, BC或者EF尽管现在长度为8的边是最小的未选择的边。但是现在他们已经连通了(对于BC可以通过CE,EB来连接,类似的EF可以通过EB,BA,AD,DF来接连)。所以不需要选择他们。类似的BD也已经连通了(这里上图的连通线用红色表示了)。
最后就剩下EG和FG了。当然我们选择了EG。最后成功的图就是右:
 
 
typedef struct          
{
char vertex[VertexNum]; //顶点表
int edges[VertexNum][VertexNum]; //邻接矩阵,可看做边表
int n,e; //图中当前的顶点数和边数
}MGraph;

typedef struct node
{
int u; //边的起始顶点
int v; //边的终止顶点
int w; //边的权值
}Edge;

void kruskal(MGraph G)
{
int i,j,u1,v1,sn1,sn2,k,w;
int vset[VertexNum];
int vsetE[VertexNum][VertexNum]; //辅助数组,判定两个顶点是否连通
int E[EdgeNum]; //存放所有的边
k=0; //E数组的下标从0开始
for (i=0;i<G.n;i++)
{
for (j=0;j<G.n;j++)
{
if (G.edges[i][j]!=0 && G.edges[i][j]!=INF)
{
E[k].u=i;
E[k].v=j;
E[k].w=G.edges[i][j];
k++;
}
}
}
heapsort(E,k,sizeof(E[0])); //堆排序,按权值从小到大排列
for (i=0;i<G.n;i++) //初始化辅助数组
{
vset[i]=i;
}
k=1; //生成的边数,最后要刚好为总边数
j=0;
w=0; //E中的下标
while (k<G.n)
{
sn1=E[j].u;
sn2=E[j].v; //得到两顶点属于的集合编号
if (sn1!=sn2) //不在同一集合编号内的话,把边加入最小生成树
{
printf("%d ---> %d, %d",E[j].u,E[j].v,E[j].w);
k++;
if(has(vest,sn1)&&has(vest,sn1))
{
continue;
}
else if(!has(vest,sn1)&&has(vest,sn1))
{
vest[w++] = sn1;
vestE[sn1][sn2] = vestE[sn2][sn1] = E[j].w;
}
else if(has(vest,sn1)&&!has(vest,sn1))
{
vest[w++] = sn2;
vestE[sn1][sn2] = vestE[sn2][sn1] = E[j].w;
}
else
{
vest[w++] = sn1;
vest[w++] = sn2;
vestE[sn1][sn2] = vestE[sn2][sn1] = E[j].w;
}

}
j++;
}
printf()
}
bool has(int a[],int n){...} //a[]中含有n返回ture,否则返回false