[BZOJ2815][ZJOI2012]灾难(拓扑+倍增)

时间:2022-05-10 08:58:48

【问题描述】

阿米巴是小强的好朋友。

阿米巴和小强在草原上捉蚂蚱。小强突然想,如果蚂蚱被他们捉灭绝了,那么吃蚂蚱的小鸟就会饿死,而捕食小鸟的猛禽也会跟着灭绝,从而引发一系列的生态灾难。

学过生物的阿米巴告诉小强,草原是一个极其稳定的生态系统。如果蚂蚱灭绝了,小鸟照样可以吃别的虫子,所以一个物种的灭绝并不一定会引发重大的灾难。

我们现在从专业一点的角度来看这个问题。我们用一种叫做食物网的有向图来描述生物之间的关系:

一个食物网有 N个点,代表 N 种生物,如果生物 x 可以吃生物 y,那么从 y向 x 连一个有向边。 这个图没有环。

图中有一些点没有连出边,这些点代表的生物都是生产者,可以通过光合作用来生存; 而有连出边的点代表的都是消费者,它们必须通过吃其他生物来生存。

如果某个消费者的所有食物都灭绝了,它会跟着灭绝。

我们定义一个生物在食物网中的“灾难值”为,如果它突然灭绝,那么会跟着一起灭绝的生物的种数。

举个例子:在一个草场上,生物之间的关系是:

如果小强和阿米巴把草原上所有的羊都给吓死了,那么狼会因为没有食物而灭绝,而小强和阿米巴可以通过吃牛、牛可以通过吃草来生存下去。所以,羊的灾难值是 1。但是,如果草突然灭绝,那么整个草原上的 5 种生物都无法幸免,所以,草的灾难值是 4。

给定一个食物网,你要求出每个生物的灾难值。

【输入格式】
输入文件 catas.in 的第一行是一个正整数 N,表示生物的种数。生物从 1 标号到 N。

接下来 N 行,每行描述了一个生物可以吃的其他生物的列表,格式为用空格隔开的若干个数字,每个数字表示一种生物的标号,最后一个数字是 0 表示列表的结束。

【输出格式】
输出文件 catas.out 包含N行,每行一个整数,表示每个生物的灾难值。

【样例输入】
5
0
1 0
1 0
2 3 0
2 0

【样例输出】
4
1
0
0
0

【样例说明】
样例输入描述了题目描述中举的例子。

【数据规模】
对 50%的数据,N ≤ 10000。
对 100%的数据,1 ≤ N ≤ 65534。
输入文件的大小不超过 1M。保证输入的食物网没有环。


算法讨论

拓扑排序(50%):
枚举所有N种生物并进行拓扑排序,同时计算每个生物的灾难值。
时间复杂度O(N^2)

拓扑+倍增(100%):
我们需要构造一棵“灭绝树”。
“灭绝树”满足以下性质:对于一棵多叉树的任意一个结点,当它“灭绝”时,它所有的后代也会跟着“灭绝”。
再回过来看这道题,题目要求的是某种生物“灭绝”后跟着“灭绝”的其他生物的数量,即这种生物在“灭绝树”中的后代数量。
那么问题来了,怎么建立“灭绝树”?
很显然,一种生物会“灭绝”只有两种情况:一是它原本就“灭绝”(即我们要求灾难值的那种生物),二是它所有的食物都“灭绝”。
第一种情况不用考虑,那么我们来考虑第二种情况。
假设有生物I。很显然,只有当生物I的所有食物的最近公共祖先(LCA)J“灭绝”时,生物I的所有食物才会同时“灭绝”(显然这里就要用到倍增求LCA的算法),然后,我们将生物I作为生物J的一个新的孩子节点,表示当J“灭绝”时,I也会跟着“灭绝”(因为它所有的食物都“灭绝”了)。
根据题目需求,最后只要输出每种生物在“灭绝树”中的所有后代数量(数量的计算可以在每次“灭绝树”加入新节点时进行一次DFS)就可以了。