C++版 - 剑指offer 面试题24:二叉搜索树BST的后序遍历序列(的判断) 题解

时间:2022-11-29 07:22:14

剑指offer 面试题24:二叉搜索树的后序遍历序列(的判断)

题目:输入一个整数数组,判断该数组是不是某二叉搜索树的后序遍历的结果。如果是则返回true。否则返回false。假设输入的数组的任意两个数字都互不相同。

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二叉搜索树(英语:Binary Search Tree),也称二叉查找树、有序二叉树(英语:ordered binary tree),排序二叉树(英语:sorted binary tree),是指一棵空树或者具有下列性质的二叉树:

  1. 任意节点的左子树不空,则左子树上所有结点的值均小于它的根结点的值;
  2. 任意节点的右子树不空,则右子树上所有结点的值均大于它的根结点的值;
  3. 任意节点的左、右子树也分别为二叉查找树;
  4. 没有键值相等的节点。
C++版 - 剑指offer 面试题24:二叉搜索树BST的后序遍历序列(的判断) 题解
         图1:3层二叉搜索树

二叉查找树相比于其他数据结构的优势在于查找、插入的时间复杂度较低。为O(log n)。二叉查找树是基础性数据结构,用于构建更为抽象的数据结构,如集合、multiset、关联数组等。

二叉查找树的查找过程和次优二叉树类似,通常采取二叉链表作为二叉查找树的存储结构。中序遍历二叉查找树可得到一个关键字的有序序列,一个无序序列可以通过构造一棵二叉查找树变成一个有序序列,构造树的过程即为对无序序列进行查找的过程。每次插入的新的结点都是二叉查找树上新的叶子结点,在进行插入操作时,不必移动其它结点,只需改动某个结点的指针,由空变为非空即可。搜索、插入、删除的复杂度等于树高,期望O(log n),最坏O(n)(数列有序,树退化成线性表)。

虽然二叉查找树的最坏效率是O(n),但它支持动态查询,且有很多改进版的二叉查找树可以使树高为O(log n), 如SBT、AVL树、红黑树。故不失为一种好的动态查找方法。

对于二叉搜索树BST,在树中任取一棵子树,其节点值都满足:左结点的值 < 父节点的值 < 右结点的值,故如果按照中序遍历的顺序遍历一棵二叉搜索树BST,遍历序列的数值是递增排序的。只需要用中序遍历算法遍历一棵二叉搜索树BST,就可以找出它的第k大结点。

1. 递归解法

由题意,可以将输入序列划分为3部分,即left、right、root,首先找到left部分最后一个结点的下标,即可完成分隔。如果left部分和right部分均是BST,即可递归调用VerifySquenceOfBST( )函数,变量bleft记录left部分是否为BST,bright记录right部分是否为BST。i从0~len-1对所有结点遍历一次... 最后的bleft&&bright即为所求的值。

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  /   \      /   \
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AC代码:

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
class Solution{
public:
bool VerifySquenceOfBST(vector<int> sequence)
{
int len=sequence.size();
if(len<=0) return false;
vector<int> left, right;
int root=sequence[len-1];
int i=0;
while(i<len-1) // 处理left部分
{
if(sequence[i]>root) break;
left.push_back(sequence[i]);
i++;
}
int j=i; // 处理right部分,此时i为left部分最后一个结点的下标
while(j<len-1)
{
if(sequence[j]<root) return false;
right.push_back(sequence[j]);
j++;
}
bool bleft=true; // 应初始化为true,left部分是BST序列,才能调用VerifySquenceOfBST()
if(i != 0) bleft=VerifySquenceOfBST(left); // i为left部分最后一个结点的下标 ,i!=0表示有左子树
bool bright=true;
if(i != len-1) bright=VerifySquenceOfBST(right); // i!= len-1表示有右子树
return (bleft && bright);
}
};
// 以下为测试部分
int main()
{
Solution sol;
vector<int> vec1={2,5,3,7,9,8,6};
vector<int> vec2={5,7,6,9,11,10,8};
vector<int> vec3={7,4,6,5};
bool res1=sol.VerifySquenceOfBST(vec1);
bool res2=sol.VerifySquenceOfBST(vec2);
bool res3=sol.VerifySquenceOfBST(vec3); printf("%d\n",res1);
printf("%d\n",res2);
printf("%d\n",res3);
return 0;
}

2. 非递归解法
左子树一定比右子树小,因此去掉根结点后,数字分为left,right两部分,right部分的最后一个数字是右子树的根,且它比左子树所有结点的值大,因此我们可以每次只看有子树是否符合条件即可,即使到达了左子树,左子树也可以看出由左右子树组成的树还像右子树那样处理.
对于左子树回到了原问题,对于右子树,左子树的所有值都比右子树的根小,可以暂时把他看出右子树的左子树,只需看看右子树的右子树是否符合要求即可.

例A

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      /      \
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  /   \      /   \
2     5    7    9

2 5 3 7 9 8 6
f -------------b
f -----------b
f --------b
f ------b

AC代码:

#include<cstdio>
#include<vector>
using namespace std;
class Solution
{
public:
bool VerifySquenceOfBST(vector<int> sequence)
{
int backIdx = sequence.size();
if(backIdx==0) return false; int forIdx = 0;
while(--backIdx) // backIdx=1时退出循环
{
while(sequence[forIdx]<sequence[backIdx]) forIdx++; // forIdx从前往后扫描left部分
while(sequence[forIdx]>sequence[backIdx]) forIdx++; // forIdx从前往后继续扫描,主要扫right部分 if(forIdx<backIdx) return false; // 如果原序列是二叉搜索树BST的后序遍历序列,则终止时forIdx=backIdx
forIdx=0; // 将forIdx拉回序列起点继续扫
}
return true;
}
}; // 以下为测试部分
int main()
{
Solution sol;
vector<int> vec1={2,5,3,7,9,8,6};
vector<int> vec2={5,7,6,9,11,10,8};
vector<int> vec3={7,4,6,5};
bool res1=sol.VerifySquenceOfBST(vec1);
bool res2=sol.VerifySquenceOfBST(vec2);
bool res3=sol.VerifySquenceOfBST(vec3); printf("%d\n",res1);
printf("%d\n",res2);
printf("%d\n",res3);
return 0;
}

将此代码结合例A思考,还是不难理解的...