CCF CSP 201703-5 引水入城（50分）

时间：2022-10-15 06:10:32

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CCF CSP 201703-5 引水入城

问题描述

　　MF城建立在一片高原上。由于城市唯一的水源是位于河谷地带的湖中，人们在坡地上修筑了一片网格状的抽水水管，以将湖水抽入城市。如下图所示：
CCF CSP 201703-5 引水入城（50分）

　　这片管网由 n 行 m 列节点（红色，图中 n = 5，m = 6），横向管道（紫色）和纵向管道（橙色）构成。
　　行和列分别用 1 到 n 的整数和 1 到 m 的整数表示。第 1 行的任何一个节点均可以抽取湖水，湖水到达第 n 行的任何一个节点即算作引入了城市。
　　除第一行和最后一行外，横向相邻或纵向相邻的两个节点之间一定有一段管道，每一段管道都有各自的最大的抽水速率，并需要根据情况选择抽水还是放水。对于纵向的管道（橙色），允许从上方向下方抽水或从下方向上方放水；如果从图中的上方向下方抽水，那么单位时间内能通过的水量不能超过管道的最大速率；如果从下方向上方放水，因为下方海拔较高，因此可以允许有任意大的水量。对于横向的管道（紫色），允许从左向右或从右向左抽水，不允许放水，两种情况下单位时间流过的水量都不能超过管道的最大速率。
　　现在MF城市的水务负责人想知道，在已知每个管道单位时间容量的情况下，MF城每单位时间最多可以引入多少的湖水。

输入格式

　　由于输入规模较大，我们采用伪随机生成的方式生成数据。
　　每组数据仅一行包含 6 个非负整数 n, m, A, B, Q, X0。其中，n 和 m 如前文所述，表示管网的大小，保证 2 ≤ n, m ≤ 5000；保证 1 ≤ A, B, Q, X0 ≤ 109。
　　A, B, Q, X0 是数据生成的参数，我们用如下的方式定义一个数列 { Xi }：
　　Xi+1 = ( AXi + B) mod Q, (i ≥ 0)
　　我们将数列的第 1 项到第 (n-1)m 项作为纵向管道的单位时间容量，其中 X(s-1)m+t 表示第 s 行第 t 列的节点到第 s+1 行第 t 列管道单位时间的容量；将数列的第 (n-1)m+1 项到第 (n-1)m+(n-2)(m-1) 项（即接下来的 (n-2)(m-1) 项）作为横向管道的单位时间容量，其中 X(n-1)m+(s-2)(m-1)+t 表示第 s 行第 t 列的节点到第 s 行第 t+1 列管道单位时间的容量。

输出格式

　　输出一行一个整数，表示MF城每单位时间可以引入的水量。
　　注意计算过程中有些参数可能超过32位整型表示的最大值，请注意使用64位整型存储相应数据。

样例输入

3 3 10 3 19 7

样例输出

38

样例说明

　　使用参数得到数列 { Xi }={ 7, 16, 11, 18, 12, 9, 17, 2, 4, … }，按照输入格式可以得到每个管道的最大抽水量如下图所示：
CCF CSP 201703-5 引水入城（50分）

　　在标准答案中，单位时间可以引水 38 单位。所有纵向管道均向下抽水即可，不需要横向管道抽水，也不需要向上放水。

样例输入

2 5 595829232 749238243 603779819 532737791

样例输出

1029036148

样例输入

5 2 634932890 335818535 550589587 977780683

样例输出

192923706

样例输入

5 5 695192542 779962396 647834146 157661239

样例输出

1449991168

评测用例规模与约定

　　共有10组评测数据，每组数据的参数规模如下所示：
测试点编号 n m
1 =2 =1000
2 =1000 =2
3 =1000 =2
4 =5 =5
5 =10 =10
6 =100 =100
7 =500 =500
8 =1000 =1000
9 =2000 =2000
10 =5000 =5000

解析

这是一个最大流的问题，湖是源，城市是汇。

下面实现了ford-fulkerson算法，只能通过50%的数据。

有更好的方法求告知！

代码

C++

#include <iostream>

#include <vector>

#include <queue>

#include <utility>

#include <climits>

using namespace std;

long long A, B, Q, X;

int numVertex;

int nextRandom() {

    X = (A * X + B) % Q;

    return X;

}

struct Edge {

    int v; // vertex

    int w; // weight

    Edge(int v_, int w_) : v(v_), w(w_) {}

};

bool bfs(vector<vector<Edge> > &rgraph, int s, int t, vector<pair<int,int> > &parents) {

    queue<int> q;

    vector<bool> visited(numVertex);

    q.push(s);

    while(!q.empty()) {

        int u = q.front();

        q.pop();

        for(int i=; i<rgraph[u].size(); i++) {

            int v = rgraph[u][i].v;

            if(!visited[v] && rgraph[u][i].w>) {

                visited[v] = true;

                parents[v] = make_pair(u,i);

                q.push(v);

                if(v == t) return true;

            }

        }

    }

    return false;

}

long long fordFulkerson(vector<vector<Edge> > &rgraph, int s, int t) {

    long long maxFlow = ;

    vector<pair<int,int> > parents(numVertex);

    while(bfs(rgraph, , , parents)) {

        int pathFlow = INT_MAX;

        for(int v=t; v!=s; ) {

            int u=parents[v].first;

            int ui = parents[v].second;

            pathFlow = min(pathFlow, rgraph[u][ui].w);

            v = u;

        }

        maxFlow += pathFlow;

//        cout << pathFlow << " " << maxFlow << endl;

        for(int v=t; v!=s; ) {

            int u = parents[v].first;

            int ui = parents[v].second;

            if(rgraph[u][ui].w!=INT_MAX) rgraph[u][ui].w -= pathFlow;

            int vi = -;

            for(int i=; i<rgraph[v].size(); i++) {

                if(rgraph[v][i].v == u) {

                    vi = i;

                }

            }

            if(vi!=- && rgraph[v][vi].w!=INT_MAX) rgraph[v][vi].w += pathFlow;

            v = u;

        }

    }

    return maxFlow;

}

int main() {

    int N, M;

    cin >> N >> M >> A >> B >> Q >> X;

    numVertex = N * M + ;

    // 0:source, 1:sink,

    vector<vector<Edge> > graph(numVertex, vector<Edge>());

    int offset = ;

    // construct graph

    for(int n=; n<N-; n++) {

        for(int m=; m<M; m++) {

            int from = n*M+m+offset;

            int to = from+M;

            nextRandom();

            graph[from].push_back(Edge(to, X));

            graph[to].push_back(Edge(from, INT_MAX));

        }

    }

    for(int m=; m<M; m++) {

        int from = ;

        int to = m+offset;

        graph[from].push_back(Edge(to, INT_MAX));

    }

    for(int m=; m<M; m++) {

        int from = (N-)*M+m+offset;

        int to = ;

        graph[from].push_back(Edge(to, INT_MAX));

    }

    long long maxFlow = ;

    for(int n=; n<N-; n++) {

        for(int m=; m<M-; m++) {

            int from = n*M+m+offset;

            int to = from+;

            nextRandom();

            graph[from].push_back(Edge(to, X));

            graph[to].push_back(Edge(from, X));

        }

    }

    maxFlow += fordFulkerson(graph, , );

    cout << maxFlow;

}

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