线性代数导论 | Linear Algebra 课程

时间:2021-09-08 01:50:11

搞统计的线性代数和概率论必须精通,最好要能锻炼出直觉,再学机器学习才会事半功倍。

线性代数只推荐Prof. Gilbert Strang的MIT课程,有视频,有教材,有习题,有考试,一套学下来基本就入门了。

不多,一共10次课。

链接:https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-06-linear-algebra-spring-2010/calendar/

SES # TOPICS KEY DATES
1 The geometry of linear equations  
2 Elimination with matrices  
3 Matrix operations and inverses  
4 LU and LDU factorization  
5 Transposes and permutations Problem set 1 due
6 Vector spaces and subspaces  
7 The nullspace: Solving Ax = 0  
8 Rectangular PA = LU and Ax = b Problem set 2 due
9 Row reduced echelon form  
10 Basis and dimension  
11 The four fundamental subspaces Problem set 3 due
12 Exam 1: Chapters 1 to 3.4  
13 Graphs and networks  
14 Orthogonality Problem set 4 due
15 Projections and subspaces  
16 Least squares approximations  
17 Gram-Schmidt and A = QR Problem set 5 due
18 Properties of determinants  
19 Formulas for determinants  
20 Applications of determinants Problem set 6 due
21 Eigenvalues and eigenvectors  
22 Diagonalization  
23 Markov matrices Problem set 7 due
24 Review for exam 2  
25 Exam 2: Chapters 1-5, 6.1-6.2, 8.2  
26 Differential equations  
27 Symmetric matrices  
28 Positive definite matrices  
29 Matrices in engineering Problem set 8 due
30 Similar matrices  
31 Singular value decomposition Problem set 9 due
32 Fourier series, FFT, complex matrices  
33 Linear transformations  
34 Choice of basis Problem set 10 due
35 Linear programming  
36 Course review  
37 Exam 3: Chapters 1-8 (8.1, 2, 3, 5)  
38 Numerical linear algebra  
39 Computational science  
40 Final exam  

待我学完后,会来总结线性代数在统计学中的地位,在项目实践中的用途。

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2019年03月11日

看完前5个Lec的视频,复习教材的相应章节,做完习题Problem set 1。

核心总结(根据教材章节分):

Chapter 1 Introduction to Vectors

1.1 Vectors and Linear Combinations

1. 线性代数的核心就是解方程式组,限制空间求解;

2. 解法很多,可以用几何法,高中的傻瓜式求解,线性代数则将方程式组转化成了矩阵的形式,发明了自己独特的一套求解办法,降低了求解的时间复杂度;

3. 向量一般指列向量,PCA里也是,Linear Combinations线性组合,可以看做是向量或矩阵加减的泛化,线性组合的前提就是维度相同。列向量和我们处理的基因表达矩阵完全类似,列向量就是一个样本/细胞,每一行就是一个维度,所以二维的向量我们是可以在平面内可视化的.

4. 线性组合的优点,两个二维(线性无关)的可以组合得到平面内的每一个向量,三个三维的可以组合得到空间内的每一个向量。同时直观上如果另一个向量不在线性组合的空间里,那它肯定不是线性组合的解,无法通过线性组合得到另一个向量。

5. 不要把线性组合、方程组矩阵化和矩阵乘法搞混,线性组合的对象是同纬度的许多个向量或矩阵;方程组矩阵化,任何线性方程组都可以写成矩阵形式,左边是系数矩阵和变量向量,右边是截距;矩阵乘法对左右两个矩阵的维度有要求,后面会解释为什么。

6. 超纲一下:矩阵的乘法的本质就是线性变换,可以想象成把一堆数据线性投射到另一个空间。这也解释了为什么左边矩阵的列数必须等于右边矩阵的行数,按照PCA来理解,右边的就是特征向量的矩阵,每一列都是一个新的维度,每一行都是线性的权重。对左边矩阵而言,每一列是一个原维度,每一行就是一个样本点。这样可以明白矩阵乘法对右边矩阵维度的要求了吗?但是数学的证明还是没有。

head(mtcars)
res <- prcomp(mtcars, scale. = F, center = F, retx = T)
res$rotation[1:5,1:5]
recover <- as.matrix(mtcars) %*% as.matrix(res$rotation)
recover[1:5,1:5]

7. 表示形式,有一套严谨的语言系统有助于我们的思考,所以记住矩阵的表示是[ ], 向量的表示是( )。向量这么表示是为了节省空间,我们书写是从左到右的,(a, b, c)是一个躺下来的列向量。  

8. 记住线性代数的矩阵不是无偏的,行和列的意义完全不同,不同的矩阵行和列的意义也不同,但它们肯定是以下两个中的一个:样本维度和特征维度。举例吧:PCA原数据矩阵,行是样本维度,列是特征维度;PCA得到的特征向量的矩阵,行是原数据矩阵的特征维度,列是新的PC维度,PC的个数我们可以选择。列向量的每一行就是一个特征维度。(仔细研究上面的R代码)

1.2 Lengths and Dot Products

1. 点积,dot product, 熟悉而陌生,它的操作对象是两个同维度的列向量,计算方法是每个维度分别求积然后求和,几何意义就是一个的投影长度乘以另一个的长度,满足交换律。a·b = |a|·|b|·cosθ = b·a = |b|·|a|·cosθ。点积的应用:根据符号判断两向量的夹角,是否正交。还有一个叫做叉积,就是求两个向量平面的垂直向量。

2. 交换、结合和分配律:(判断运算的规律)交换律,两个变量,判断运算是否能够交换顺序;结合律,三个变量,同运算能否交换先后顺序;分配律,三个变量,多个运算能够交换先后顺序。

3. 向量长度的表示,||v|| = √v·v,单位向量就是长度为1的所有向量的集合。任何向量都可以转换为单位向量,把每一个维度除以该向量的长度就行。

4. 超纲一下:什么是线性相关和线性无关?研究对象是两个以上的向量组,如果存在不全为0的系数,其中任一向量可有其他向量线性表示,则为线性相关。对于二维而言,线性相关表示其方向相同或相反,否则为线性无关,线性无关的向量组有一个极其重要的特性,那就是n个n维的线性无关的向量组可以通过线性组合表征整个R^n。

5. 再超纲一下:什么是秩?矩阵的秩,可以确定方程组有无唯一解,对向量组而言,秩就是极大线性无关向量组/方程组。

1.3 Matrices

1. 矩阵的维度,3 X 4, 3是行数,4是列数,需要牢记。

2. 矩阵与矩阵或向量的乘积的改写形式,可以改成线性组合的形式,也可以利用矩阵分块的特性来拆分,真的千变万化,请熟练掌握。

3. 超纲:矩阵的对角化在PCA中非常重要。什么是正交矩阵? 正交矩阵(Orthogonal Matrix)是指其转置等于其逆的矩阵。列向量之间彼此正交,就是內积为0,俗话说就是垂直。正交老是容易和相关搞混,其实很好区分,正交是垂直,相关就是平行。

4. 超纲:相似矩阵是什么?

5. 协方差矩阵的矩阵求法?非常简洁的形式。

6. 矩阵乘法的本质,线性变化,投射到新的空间。阮一峰简单证明了矩阵乘法的运算规则。还有篇博文梳理了矩阵乘法的本质。左边是原数据,列是特征维度,右边的矩阵是施加运动的矩阵,每一列都是一个带变化权重的新维度,所以它的列数可以无限多,只要你喜欢。标量与矩阵的乘法符合交换律,但矩阵与矩阵的乘法则不符合(向量是特殊的矩阵,同理)。

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7. 矩阵分块后,大部分运算都是可以通用的,比如矩阵乘法。矩阵分块能将很多运算立马简化。

8. 矩阵有个非常好的性质,按行并行,也就是说行是可以随便拆分的,尤其是在多元方程组和矩阵形式之间转换时。想拆,必须左右两边都是矩阵,因为矩阵相等,每个对应的位置都必须相等。

9. 什么矩阵不可逆Inverse Matrix?行列式不为0

总结:这一章介绍了一些基本概念,还没有完全进入正文。


Chapter 2 Solving Linear Equations


下一步计划:图论,Graph Theory

待续~

有启发的链接:

随记:我们需要怎样的数学教育?