1、数学推导
根据上讲的思想，我们可以用下图来进行数学上的推导.
2、PCA的步骤
1）对原始数据进行标准化处理：对该指标变量进行标准化，
2）计算相关系数矩阵（协方差矩阵）
3）计算相关系数矩阵的特征值和特征向量，得到新的指标标量。
4）计算特征值的信息贡献率和累积贡献率，按一定规则选择主成分
5）以主成分的贡献率为权重，构建主成分综合评价模型，计算综合评价值和排名
3、应用实例——我国各地区普通高等教育发展综合评价
案例背景不再详述，在此我们选取10个指标来评价30个省市他们的普通高等教育发展。
数据：
1）将上述数据标准化，计算协方差矩阵
2）计算协方差矩阵的特征值和特征值贡献率
3）根据特征值贡献率选取前四个特征根对应的特征向量
由此可得四个主成分分别为：
4）分别以四个主成分的贡献率为权重，计算主成分综合得分：
计算的matlab程序：
gj=[
5.96 44.36 2.2 ;
3.39 35.02 0.9 ;
2.35 38.4 0.86 ;
1.35 30.45 1.22 ;
1.5 34.3 0.54 ;
1.67 33.53 0.76 ;
1.17 35.22 0.58 ;
1.05 32.89 0.66 ;
0.95 31.54 0.39 ;
0.69 34.5 0.37 ;
0.56 32.62 0.55 ;
0.57 32.95 0.28 ;
0.71 28.13 0.73 ;
0.74 33.06 0.47 ;
0.86 29.94 0.25 ;
1.29 25.93 0.37 ;
1.04 29.01 0.29 ;
0.85 25.63 0.43 ;
0.81 29.82 0.31 ;
0.59 32.83 0.33 ;
0.66 28.55 0.48 ;
0.77 28.81 0.34 ;
0.7 27.34 0.28 ;
0.84 27.65 0.32 ;
1.69 12.1 ;
0.55 28.41 0.3 ;
0.6 31.93 0.24 ;
1.39 22.7 0.42 ;
0.64 28.12 0.34 ;
1.48 17.87 0.38 ;
];%原始数据
gj=zscore(gj); %数据标准化
r=corrcoef(gj); %计算相关系数矩阵
[e,lamda]=eig(r); %求相关系数矩阵的特征值和特征向量
lamda=sort(sum(lamda),'descend');%将特征值降序排列
attribute=lamda./sum(lamda); %各特征值的贡献率
cum_attribute=cumsum(attribute); %累计的贡献率
num=; %选取的主成分的个数
df=gj*e(:,:-:-num) %新指标下的样本值
score=attribute(:num)*df'; %计算综合得分
[stf,ind]=sort(score,'descend'); %把得分按照从高到低的次序排列
stf=stf', ind=ind'