已知一个函数rand7()能够生成1-7的随机数，请给出一个函数rand10()，该函数能够生成1-10的随机数。

时间：2022-03-07 22:50:38
题目：

已知一个函数rand7()能够生成1-7的随机数，请给出一个函数，该函数能够生成1-10的随机数。

思路：

假如已知一个函数能够生成1-49的随机数，那么如何以此生成1-10的随机数呢？

解法：

该解法基于一种叫做拒绝采样的方法。主要思想是只要产生一个目标范围内的随机数，则直接返回。如果产生的随机数不在目标范围内，则丢弃该值，重新取样。由于目标范围内的数字被选中的概率相等，这样一个均匀的分布生成了。

显然rand7至少需要执行2次，否则产生不了1-10的数字。通过运行rand7两次，可以生成1-49的整数，

   1  2  3  4  5  6  7

1  1  2  3  4  5  6  7

2  8  9 10  1  2  3  4

3  5  6  7  8  9 10  1

4  2  3  4  5  6  7  8

5  9 10  1  2  3  4  5

6  6  7  8  9 10  *  *

7  *  *  *  *  *  *  *

由于49不是10的倍数，所以我们需要丢弃一些值，我们想要的数字范围为1-40，不在此范围则丢弃并重新取样。

代码：

  1. int rand10() {
  2. int row, col, idx;
  3. do {
  4. row = rand7();
  5. col = rand7();
  6. idx = col + (row-1)*7;
  7. } while (idx > 40);
  8. return 1 + (idx-1)%10;
  9. }

由于row范围为1-7，col范围为1-7，这样idx值范围为1-49。大于40的值被丢弃，这样剩下1-40范围内的数字，通过取模返回。下面计算一下得到一个满足1-40范围的数需要进行取样的次数的期望值：

E(# calls to rand7) = 2 * (40/49) +

                      4 * (9/49) * (40/49) +

                      6 * (9/49)2 * (40/49) +

                      ...

                      ∞

                    = ∑ 2k * (9/49)k-1 * (40/49)

                      k=1

                    = (80/49) / (1 - 9/49)2

                    = 2.45

优化：

上面的方法大概需要2.45次调用rand7函数才能得到1个1-10范围的数，下面可以进行再度优化。

对于大于40的数，我们不必马上丢弃，可以对41-49的数减去40可得到1-9的随机数，而rand7可生成1-7的随机数，这样可以生成1-63的随机数。对于1-60我们可以直接返回，而61-63则丢弃，这样需要丢弃的数只有3个，相比前面的9个，效率有所提高。而对于61-63的数，减去60后为1-3，rand7产生1-7，这样可以再度利用产生1-21的数，对于1-20我们则直接返回，对于21则丢弃。这时，丢弃的数就只有1个了，优化又进一步。当然这里面对rand7的调用次数也是增加了的。代码如下：

  1. int rand10Imp() {
  2. int a, b, idx;
  3. while (true) {
  4. a = rand7();
  5. b = rand7();
  6. idx = b + (a-1)*7;
  7. if (idx <= 40)
  8. return 1 + (idx-1)%10;
  9. a = idx-40;
  10. b = rand7();
  11. // get uniform dist from 1 - 63
  12. idx = b + (a-1)*7;
  13. if (idx <= 60)
  14. return 1 + (idx-1)%10;
  15. a = idx-60;
  16. b = rand7();
  17. // get uniform dist from 1-21
  18. idx = b + (a-1)*7;
  19. if (idx <= 20)
  20. return 1 + (idx-1)%10;
  21. }
  22. }

下面计算下优化后方法的调用rand7函数的期望次数：

E(# calls to rand7) = 2 * (40/49) +

                      3 * (9/49) * (60/63) +

                      4 * (9/49) * (3/63) * (20/21) + 

                      (9/49) * (3/63) * (1/21) *

                      [ 6 * (40/49) +

                        7 * (9/49) * (60/63) +

                        8 * (9/49) * (3/63) * (20/21) ] +

                      ((9/49) * (3/63) * (1/21))2 *

                      [ 10 * (40/49) +

                        11 * (9/49) * (60/63) +

                        12 * (9/49) * (3/63) * (20/21) ] +

                      ...

                    = 2.2123

这里期望次数为2.21，比起未优化的2.45次减少了大概10%。

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