Miller-rabin算法是一个用来快速判断一个正整数是否为素数的算法。它利用了费马小定理，即：如果p是质数，且a，p互质，那么a^(p-1) mod p恒等于1。也就是对于所有小于p的正整数a来说都应该复合a^(p-1) mod p恒等于1。那么根据逆否命题，对于一个p，我们只要举出一个a（a<p）不符合这个恒等式，则可判定p不是素数。Miller-rabin算法就是多次用不同的a来尝试p是否为素数。
但是每次尝试过程中还做了一个优化操作，以提高用少量的a检测出p不是素数的概率。这个优化叫做二次探测。它是根据一个定理：如果p是一个素数，那么对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 等于1，则x=1或p-1。逆否命题：如果对于x(0<x<p)，若x^2 mod p 不等于1，则p不是素数。根据这个定理，我们要计算a^(p-1) mod p是否等于1时，可以这样计算，设p-1=(2^t) * k。我们从a^k开始，不断将其平方直到得到a^(p-1)，一旦发现某次平方后mod p等于1了，那么说明符合了二次探测定理的逆否命题使用条件，立即检查x是否等于1或p-1，如果不是则可直接判定p为合数。
pollard-rho算法是一个用来快速对整数进行质因数分解的算法，需要与Miller-rabin共同使用。求n的质因子的基本过程是，先判断n是否为素数，如果不是则按照一个伪随机数生成过程来生成随机数序列，对于每个生成的随机数判断与n是否互质，如果互质则尝试下一个随机数。如果不互质则将其公因子记作p，递归求解p和n/p的因子。如果n是素数则直接返回n为其素因子。
Pollard rho算法的原理就是通过某种方法得到两个整数a和b，而待分解的大整数为n，计算p=gcd(a-b,n)，直到p不为1，或者a，b出现循环为止。然后再判断p是否为n，如果p=n成立，那么返回n是一个质数，否则返回p是n的一个因子，那么我们又可以递归的计算Pollard(p)和Pollard(n/p)，这样，我们就可以求出n的所有质因子。
具体操作中，我们通常使用函数x2=x1*x1+c来计算逐步迭代计算a和b的值，实践中，通常取c为1，即b=a*a+1，在下一次计算中，将b的值赋给a，再次使用上式来计算新的b的值，当a，b出现循环时，即可退出进行判断。
在实际计算中，a和b的值最终肯定一出现一个循环，而将这些值用光滑的曲线连接起来的话，可以近似的看成是一个ρ型的。
对于Pollard rho，它可以在O(sqrt(p))的时间复杂度内找到n的一个小因子p，可见效率还是可以的，但是对于一个因子很少、因子值很大的大整数n来说，Pollard rho算法的效率仍然不是很好
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#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <string.h>
#include <algorithm>
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#include <iomanip>
#include <cctype>
using namespace std; /**
Miller_Rabin 算法进行素数测试
快速判断一个<2^63的数是不是素数,主要是根据费马小定理
*/
#define ll long long
const int S=; ///随机化算法判定次数 ///计算ret=(a*b)%c a,b,c<2^63
ll mult_mod(ll a,ll b,ll c)
{
a%=c;
b%=c;
ll ret=;
ll temp=a;
while(b)
{
if(b&)
{
ret+=temp;
if(ret>c)
ret-=c;//直接取模慢很多
}
temp<<=;
if(temp>c)
temp-=c;
b>>=;
}
return ret;
} ///计算ret=(a^n)%mod
ll pow_mod(ll a,ll n,ll mod)
{
ll ret=;
ll temp=a%mod;
while(n)
{
if(n&)
ret=mult_mod(ret,temp,mod);
temp=mult_mod(temp,temp,mod);
n>>=;
}
return ret;
} ///通过费马小定理 a^(n-1)=1(mod n)来判断n是否为素数
///中间使用了二次判断,令n-1=x*2^t
///是合数返回true，不一定是合数返回false
bool check(ll a,ll n,ll x,ll t)
{
ll ret=pow_mod(a,x,n);
ll last=ret;//记录上一次的x
for(int i=;i<=t;i++)
{
ret=mult_mod(ret,ret,n);
if(ret==&&last!=&&last!=n-)
return true;//二次判断为是合数
last=ret;
}
if(ret!=)
return true;//是合数,费马小定理
return false;
} ///Miller_Rabbin算法
///是素数返回true(可能是伪素数)，否则返回false
bool Miller_Rabbin(ll n)
{
if(n<) return false;
if(n==) return true;
if((n&)==) return false;//偶数
ll x=n-;
ll t=;
while((x&)==)
{
x>>=;
t++;
}
srand(time(NULL));
for(int i=;i<S;i++)
{
ll a=rand()%(n-)+; // 生成随机数 0<a<=n-1 去试试
if(check(a,n,x,t))
return false;
}
return true;
} /**
pollard_rho算法进行质因素分解
*/
ll factor[];//质因素分解结果(一开始无序）
int tot;//质因素的个数 0~to-1
ll gcd(ll a,ll b)
{
ll t;
while(b)
{
t=a;
a=b;
b=t%b;
}
if(a>=) return a;
return -a;
} ///找到一个质因素
ll pollard_rho(ll x,ll c)
{
ll i=,k=;
srand(time(NULL));
ll x0=rand()%(x-)+;//随即一个因子来判断
ll y=x0;
while()
{
i++;
x0=(mult_mod(x0,x0,x)+c)%x;
ll d=gcd(y-x0,x);
if(d!=&&d!=x) return d;
if(y==x0) return x;
if(i==k)
{
y=x0;
k+=k;
}
}
} ///对n进行质因素分解，存入factor数组，k为了防止死循环，设置为107左右
void findfac(ll n,int k)
{
if(n==)
return;
if(Miller_Rabbin(n))
{
factor[tot++]=n;
return;
}
ll p=n;
int c=k;
while(p>=n)
p=pollard_rho(p,c--);
findfac(p,k);
findfac(n/p,k);
} int main()
{
int t;scanf("%d",&t);
ll n;
while(t--)
{
scanf("%I64d",&n);
if(Miller_Rabbin(n))
{
printf("Prime\n");
continue;
}
tot=;
findfac(n,);
sort(factor,factor+tot);
for(int i=;i<tot;i++)
printf("%I64d ",factor[i]);
printf("\n");
}
return ;
}