3675: [Apio2014]序列分割
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Description
Input
输入第一行包含两个整数n,k(k+1≤n)。
Output
输出第一行包含一个整数,为小H可以得到的最大分数。
Sample Input
4 1 3 4 0 2 3
Sample Output
HINT
【样例说明】
在样例中,小H可以通过如下3轮操作得到108分:
1.-开始小H有一个序列(4,1,3,4,0,2,3)。小H选择在第1个数之后的位置
将序列分成两部分,并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。
2.这一轮开始时小H有两个序列:(4),(1,3,4,0,2,3)。小H选择在第3个数
字之后的位置将第二个序列分成两部分,并得到(1+3)×(4+0+2+
3)=36分。
3.这一轮开始时小H有三个序列:(4),(1,3),(4,0,2,3)。小H选择在第5个
数字之后的位置将第三个序列分成两部分,并得到(4+0)×(2+3)=
20分。
经过上述三轮操作,小H将会得到四个子序列:(4),(1,3),(4,0),(2,3)并总共得到52+36+20=108分。
【数据规模与评分】
:数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1,200)。
题解:
首先通过手推可以发现,得到的价值和切割顺序无关(小栗子:把序列切成3段①②③的话,(①+②)*③+①*②=①*(②+③)+②*③)
这样的话本题就可以从左到右扫了.我们设f[i][j]为在j这个点切i次最大价值,s[i]为前缀和
对于某一个切割点j,考虑上一个切割点k,有f[i][j]=max{f[i-1][k]+s[k]*(s[j]-s[k]),k∈[1,j)}
这个方程又对应着一个简单的O(N2K)暴力
for(int i=;i<=k+;i++)
{
for(int j=;j<=n;j++)
for(int u=;u<j;u++)
f[j]=max(f[j],g[u]+(s[j]-s[u])*s[u]);
for(int j=;j<=n;j++)
swap(f[j],g[j]);
}
printf("%lld",f[n]);
一个简单的暴力
但考虑到数据范围,这样的暴力无疑会T,因此考虑优化.
首先,无论哪种打法都要开滚动数组,不然会内存爆炸.设滚动数组为g[i]
对于两个决策点k1<k2,如果k2优于k1
则g[k1]+s[k1]*(s[j]-s[k1])<g[k2]+s[k2]*(s[j]-s[k2])
g[k1]-g[k2]<s[k2]*(s[j]-s[k2])-s[k1]*(s[j]-s[k1])
g[k1]-g[k2]<s[k2]*s[j]-s[k1]*s[j]+s[k1]2-s[k2]2
g[k1]-g[k2]+s[k2]2-s[k1]2<s[j]*(s[k2]-s[k1])
(g[k1]-g[k2]+s[k2]2-s[k1]2)/(s[k2]-s[k1])<s[j]
这样我们又得到了一个可爱的斜率式子
那么我们利用这个式子计算就好了~
代码见下:
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=;
const int K=;
int n,k,q[N],a[N],now=,pre=;
LL f[][N],s[N];
inline double l(int k1,int k2){return 1.0*(f[pre][k1]-f[pre][k2]+s[k2]*s[k2]-s[k1]*s[k1])/(s[k2]-s[k1]);}
int main()
{
scanf("%d%d",&n,&k);int tmp=;
for(int i=;i<=n;i++)
scanf("%lld",&a[i]);
for(int i=;i<=n;i++)if(a[i])a[++tmp]=a[i];;
n=tmp;
for(int i=;i<=n;i++)s[i]=a[i]+s[i-];
for(int i=,h=,t=;i<=k;i++,h=,t=)
{
memset(q,,sizeof(q));
for(int j=i;j<=n;j++)
{
while(h<t&&l(q[t-],q[t])>l(q[t],j-))t--;
q[++t]=j-;
while(h<t&&l(q[h],q[h+])<s[j])h++;
f[now][j]=f[pre][q[h]]+(s[j]-s[q[h]])*s[q[h]];
}
pre^=,now^=;
}
printf("%lld",f[pre][n]);
}
BZOJ3675