NURBS
贝塞尔曲线的缺点是当我们增加很多控制点的时候，曲线变得不可控，其连续性会变差差。如果控制点很多（高阶曲线），当我们调整一个控制点的位置，对 整个曲线的影响是很大的。要获得更高级的控制，可以使用GLU库提供的NURBS(非均匀有理B样条）。通过这些函数我们可以在求值器中调整控制点的影响 力，在有大量控制点的情况下，依然可以产生平滑的曲线。
从贝塞尔到B样条
贝塞尔曲线由起点、终点和其他控制点来影响曲线的形状。在二次贝塞尔曲线和三次贝塞尔曲线中，可以通过调整控制点的位置而得到很好的平滑性（C2级 连续性 曲率级）的曲线。当增加更多的控制点的时候，这种平滑性就被破坏了。如下图所示，前两个曲线很平滑（曲率级的连续性），第三个曲线在增加了一个控制点之 后，曲线被拉伸了，其平滑性遭到了破坏。
B样条的工作方式类似于贝塞尔曲线，但不同的是曲线被分成很多段。每段曲线的形状只受到最近的四个控制点的影响，这样曲线就像是4阶的贝塞尔曲线拼接起来的。这样很长的有很多控制点的曲线就会有固定的连续性，平滑性（每一段都是c2级的连续性）。
结点
NURBS（非均匀有理B样条）的真正威力在于，可以调整任意一段曲线中的四个控制点的影响力，来产生较好的平滑性。这是通过一系列结点来控制的。每个控制点都定义了两个结点的值。结点的取值范围是u或v的定义域，而且必须是非递减的。
结点的值决定了落在u、v参数定义域内的控制点的影响力。下图的曲线表示控制点对一条在u参数定义域内的具有四个单位的曲线的影响。下图表示中间点对曲线的影响更大，而且只有在[0,3]范围内的控制点才会对曲线产生影响。
在u、v参数定义域内的控制点对曲线的形状会有有影响，而且我们可以通过结点来控制控制点的影响力。非均匀性就是指一个控制点的影响力的范围是可以改变的。
以下内容及节选自 http://www.rhino3d.com/cn/nurbs
节点 ( Knot ) 是一个 ( 阶数 + N - 1 ) 的数字列表，N 代表控制点数目。有时候这个列表上的数字也称为节点矢量 ( Knot Vector )，这里的矢量并不是指 3D 方向。
节点列表上的数字必须符合几个条件，确定条件是否符合的标准方式是在列表上往下时，数字必需维持不变或变大，而且数字重复的次数不可以比阶数大。例 如，阶数 3 有 15 个控制点的 NURBS 曲线，列表数字为 0,0,0,1,2,2,2,3,7,7,9,9,9 是一个符合条件的节点列表。列表数字为 0,0,0,1,2,2,2,2,7,7,9,9,9 则不符合，因为此列表中有四个 2，而四比阶数大 ( 阶数为 3 )。
节点值重复的次数称为节点的重数 ( Multiplicity )，在上面例子中符合条件的节点列表中，节点值 0 的重数值为三；节点值 1 的重数值为一；节点值 2 的重数为三；节点值 7 的重数值为二；节点值 9 的重数值为三。如果节点值重复的次数和阶数一样，该节点值称为全复节点 ( Full-Multiplicity Knot )。在上面的例子中，节点值 0、2、9 有完整的重数，只出现一次的节点值称为单纯节点 ( Simple Knot )，节点值 1 和 3 为单纯节点。
如果在节点列表中是以全复节点开始，接下来是单纯节点，再以全复节点结束，而且节点值为等差，称为均匀 ( Uniform )。例如，如果阶数为 3 有 7 个控制点的 NURBS 曲线，其节点值为 0,0,0,1,2,3,4,4,4，那么该曲线有均匀的节点。如果节点值是 0,0,0,1,2,5,6,6,6 不是均匀的，称为非均匀 ( Non-Uniform )。在 NURBS 的 NU 代表“非均匀”，意味着在一条 NURBS 曲线中节点可以是非均匀的。
在节点值列表中段有重复节点值的 NURBS 曲线比较不平滑，最不平滑的情形是节点列表中段出现全复节点，代表曲线有锐角。因此，有些设计师喜欢在曲线插入或移除节点，然后调整控制点，使曲线的造型 变得平滑或尖锐。因为节点数等于 ( N + 阶数 - 1 )，N 代表控制点的数量，所以插入一个节点会增加一个控制点，移除一个节点也会减少一个控制点。插入节点时可以不改变 NURBS 曲线的形状，但通常移除节点必定会改变 NURBS 曲线的形状。
节点（Knot）与控制点
控制点和节点是一对一成对的是常见的错误概念，这种情形只发生在 1 阶的 NURBS ( 多重直线 )。较高阶数的 NURBS 的每 ( 2 x 阶数 ) 个节点是一个群组，每 ( 阶数 + 1 ) 个控制点是一个群组。例如，一条 3 阶 7 个控制点的 NURBS 曲线，节点是 0,0,0,1,2,5,8,8,8，前四个控制点是对应至前六个节点；第二至第五个控制点是对应至第二至第七个节点 0,0,1,2,5,8；第三至第六个控制点是对应至第三至第八个节点 0,1,2,5,8,8；最后四个控制点是对应至最后六个节点
创建NURBS表面
GLU库中提供了易用高级的绘制NURBS表面的函数。我们不需要显示地调用求值函数或建立网格。渲染一个NURBS表面的步骤如下：
- 创建一个NURBS渲染对象 gluNewNurbsRenderer()
- 调用相关的NURBS函数来修改曲线或曲面的外观 gluNurbsProperty
- 定义表面，渲染NURBS gluBeginSurface gluNurbsSurface gluEndSurface
- 销毁NURBS渲染对象 gluDeleteNurbsRenderer();
我们通过gluNewNurbsRenderer函数来为NURBS创建一个渲染器对象，在最后使用gluDeleteNurbsRenderer销毁它。代码如下：
NURBS属性
在创建了NURBS渲染器之后，我们需要设置NURBS的属性。
//设置采样容差
gluNurbsProperty(pNurb, GLU_SAMPLING_TOLERANCE, 25.0f);
//填充一个实体的表面
gluNurbsProperty(pNurb, GLU_DISPLAY_MODE, (GLfloat)GLU_FILL);
GLU_SAMPLING_TOLERANCE决定了网格的精细程度。GLU_FILL表示使用填充模式，相应的GLU_OUTLINE_POLYGON是线框模式。
定义表面
表面通过一组控制点和一个结点序列来定义。使用gluNurbsSurface函数来定义表面，这个函数要在gluBeginSurface和gluEndSurface中间：
float ctrlpoints[][][]={
{{100.0,270.0,0.0},//p00
{105.0,180.0,0.0},//p01
{110.0,160.0,0.0},//p02
{155.0,100.0,0.0}},//p03
{{180.0,200.0,0.0},//p10
{190.0,130.0,0.0},//p11
{200.0,110.0,0.0},//p12
{240.0,70.0,0.0}},//p13
{{310.0,200.0,0.0},//p20
{320.0,130.0,0.0},//p21
{330.0,110.0,0.0},//p22
{370.0,70.0,0.0}},//p23
{{420.0,270.0,0.0},//p30
{430.0,180.0,0.0},//p31
{440.0,160.0,0.0},//p32
{490.0,120.0,1.0}}//p33
};
glPushMatrix();
//绘制控制点与控制线
glScaled(0.2, 0.2, 0.2);
glPointSize(4.0f);
glColor3f(0.0, 0.0, 1.0);
glColor3f(, , );
glBegin(GL_POINTS);
for (int i = ; i < ; i++)
{
for (int j = ; j < ; j++)
glVertex3fv(ctrlpoints[i][j]);
}
glEnd();
//绘制控制线
glLineWidth(1.5f);
glColor3f(0.0,1.0,1.0);
for (int i = ; i < ; i++)
{
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int j = ; j < ; j++)
glVertex3fv(ctrlpoints[i][j]);
glEnd();
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int j = ; j < ; j++)
glVertex3fv(ctrlpoints[j][i]);
glEnd();
}
//绘制B样条控制曲面
GLfloat knots[]={0.0,0.0,0.0,0.0,1.0,1.0,1.0,1.0}; //B样条控制向量
glLineWidth(1.0f);
glColor3f(0.0, 0.0, 0.0);
gluNurbsProperty(pNurb,GLU_SAMPLING_TOLERANCE,25.0); //设置属性
gluNurbsProperty(pNurb,GLU_DISPLAY_MODE, GLU_OUTLINE_POLYGON);
gluBeginSurface(pNurb);//开始绘制
gluNurbsSurface(pNurb,
,knots,
,knots,
*,
,
&ctrlpoints[][][],
, ,
GL_MAP2_VERTEX_3);
gluEndSurface(pNurb); //结束绘制
for (int j = ; j <= ; j++)
{
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int i = ; i <= ; i++)
glEvalCoord2f((GLfloat)i/30.0, (GLfloat)j/8.0);
glEnd();
glBegin(GL_LINE_STRIP);
for (int i = ; i <= ; i++)
glEvalCoord2f((GLfloat)j/8.0, (GLfloat)i/30.0);
glEnd();
}
glPopMatrix();
程序运行效果如下：
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