题意：
给出一个\(n \times n\)的矩阵\(A\)，求\(A+A^2+A^3+ \cdots + A^k\)。
分析：
这题是有\(k=0\)的情况，我们一开始先特判一下，直接输出单位矩阵\(E\)。
下面讨论\(k > 0\)的情况：
方法一
设答案为\(S_k(k > 0)\)
把矩阵增广一下
$\begin{bmatrix}
A & O \
E & E
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A^n\
S_{n-1}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A^{n+1}\
S_n
\end{bmatrix}\(
\)E\(表示单位矩阵，\)O\(是全为零的矩阵。
\){\begin{bmatrix}
A & O \
E & E
\end{bmatrix}}^k
\begin{bmatrix}
A\
O
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
A^{k+1}\
S_k
\end{bmatrix}$
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 40;
const int MOD = 10;
int mul(int a, int b) { return a * b % MOD; }
void add(int& a, int b) { a += b; if(a >= MOD) a -= MOD; }
int n, k, sz;
int a[maxn][maxn], b[maxn][maxn];
struct Matrix
{
int a[maxn * 2][maxn * 2];
Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); }
Matrix operator * (const Matrix& t) const {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < sz; i++)
for(int j = 0; j < sz; j++)
for(int k = 0; k < sz; k++)
add(ans.a[i][j], mul(a[i][k], t.a[k][j]));
return ans;
}
void output() {
for(int i = 0; i < sz; i++) {
for(int j = 0; j < sz - 1; j++)
printf("%d ", a[i][j]);
printf("%d\n", a[i][sz - 1]);
}
printf("\n");
}
};
Matrix pow_mod(Matrix a, int p) {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < sz; i++) ans.a[i][i] = 1;
while(p) {
if(p & 1) ans = ans * a;
a = a * a;
p >>= 1;
}
return ans;
}
int main()
{
while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2 && n) {
Matrix M;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++) {
scanf("%d", &a[i][j]);
a[i][j] %= MOD;
M.a[i][j] = a[i][j];
}
if(!k) {
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n - 1; j++)
printf("%d ", i == j ? 1 : 0);
printf("%d\n", i == n - 1 ? 1 : 0);
}
printf("\n");
continue;
}
for(int i = n; i < n * 2; i++)
M.a[i][i] = M.a[i][i - n] = 1;
sz = n * 2;
M = pow_mod(M, k);
memset(b, 0, sizeof(b));
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++) if(M.a[i + n][j])
for(int k = 0; k < n; k++)
add(b[i][k], mul(M.a[i + n][j], a[j][k]));
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n - 1; j++)
printf("%d ", b[i][j]);
printf("%d\n", b[i][n - 1]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}
方法二
有如下递归式：
- \(S_k=(E+A^{\frac{k}{2}})S^{\frac{k}{2}}\)，k是偶数
- \(S_k=(E+A^{\frac{k}{2}})S^{\frac{k}{2}}+A^k\)，k是奇数
所以也可以直接递归求解。
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 40;
const int MOD = 10;
int mul(int a, int b) { return a * b % MOD; }
void add(int& a, int b) { a += b; if(a >= MOD) a -= MOD; }
int n, k;
struct Matrix
{
int a[maxn][maxn];
Matrix() { memset(a, 0, sizeof(a)); }
void E() {
memset(a, 0, sizeof(a));
for(int i = 0; i < maxn; i++) a[i][i] = 1;
}
Matrix operator + (const Matrix& t) const {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++) {
add(ans.a[i][j], a[i][j]);
add(ans.a[i][j], t.a[i][j]);
}
return ans;
}
Matrix operator * (const Matrix& t) const {
Matrix ans;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++) if(a[i][j])
for(int k = 0; k < n; k++)
add(ans.a[i][k], mul(a[i][j], t.a[j][k]));
return ans;
}
void output() {
for(int i = 0; i < n; i++) {
for(int j = 0; j < n - 1; j++)
printf("%d ", a[i][j]);
printf("%d\n", a[i][n - 1]);
}
printf("\n");
}
};
Matrix pow_mod(Matrix a, int p) {
Matrix ans;
ans.E();
while(p) {
if(p & 1) ans = ans * a;
a = a * a;
p >>= 1;
}
return ans;
}
Matrix E;
Matrix sum(Matrix a, int p) {
if(p == 1) return a;
Matrix ans;
ans = (E + pow_mod(a, p / 2)) * sum(a, p / 2);
if(p & 1) ans = ans + pow_mod(a, p);
return ans;
}
int main()
{
E.E();
while(scanf("%d%d", &n, &k) == 2) {
if(n == 0 && k == 0) break;
Matrix a;
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < n; j++) {
scanf("%d", &a.a[i][j]);
a.a[i][j] %= 10;
}
if(k == 0) {
E.output();
continue;
}
a = sum(a, k);
a.output();
}
return 0;
}