Tarjan求有向图强连通详解
注*该文章为转发，原文出处已经不得而知
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全网最!详!细!tarjan算法讲解。
全网最详细tarjan算法讲解，我不敢说别的。反正其他tarjan算法讲解，我看了半天才看懂。我写的这个，读完一遍，发现原来tarjan这么简单！
tarjan算法，一个关于 图的联通性的神奇算法。基于DFS（迪法师）算法，深度优先搜索一张有向图。！注意！是有向图。根据树，堆栈，打标记等种种神（che）奇（dan）方法来完成剖析一个图的工作。而图的联通性，就是任督二脉通不通。。的问题。
了解tarjan算法之前你需要知道：
强连通，强连通图，强连通分量，解答树（解答树只是一种形式。了解即可）
不知道怎么办！！！
神奇海螺～：嘟噜噜～！
强连通(strongly connected)： 在一个有向图G里，设两个点 a b 发现，由a有一条路可以走到b，由b又有一条路可以走到a，我们就叫这两个顶点（a，b）强连通。
强连通图： 如果 在一个有向图G中，每两个点都强连通，我们就叫这个图，强连通图。
强连通分量strongly connected components)：在一个有向图G中，有一个子图，这个子图每2个点都满足强连通，我们就叫这个子图叫做 强连通分量 ［分量：：把一个向量分解成几个方向的向量的和，那些方向上的向量就叫做该向量（未分解前的向量）的分量］
举个简单的栗子：
比如说这个图，在这个图中呢，点1与点2互相都有路径到达对方，所以它们强连通.
而在这个有向图中，点1 2 3组成的这个子图，是整个有向图中的强连通分量。
解答树：就是一个可以来表达出递归枚举的方式的树（图），其实也可以说是递归图。。反正都是一个作用，一个展示从“什么都没有做”开始到“所有结求出来”逐步完成的过程。“过程！”
神奇海螺结束！！！
tarjan算法，之所以用DFS就是因为它将每一个强连通分量作为搜索树上的一个子树。而这个图，就是一个完整的搜索树。
为了使这颗搜索树在遇到强连通分量的节点的时候能顺利进行。每个点都有两个参数。
1，DFN［］作为这个点搜索的次序编号（时间戳），简单来说就是 第几个被搜索到的。％每个点的时间戳都不一样％。
2，LOW［］作为每个点在这颗树中的，最小的子树的根，每次保证最小，like它的父亲结点的时间戳这种感觉。如果它自己的LOW［］最小，那这个点就应该从新分配，变成这个强连通分量子树的根节点。
ps：每次找到一个新点，这个点LOW［］＝DFN［］。
而为了存储整个强连通分量，这里挑选的容器是，堆栈。每次一个新节点出现，就进站，如果这个点有 出度 就继续往下找。直到找到底，每次返回上来都看一看子节点与这个节点的LOW值，谁小就取谁，保证最小的子树根。如果找到DFN［］＝＝LOW［］就说明这个节点是这个强连通分量的根节点（毕竟这个LOW［］值是这个强连通分量里最小的。）最后找到强连通分量的节点后，就将这个栈里，比此节点后进来的节点全部出栈，它们就组成一个全新的强连通分量。
先来一段伪代码压压惊：
tarjan(u){
DFN[u]=Low[u]=++Index // 为节点u设定次序编号和Low初值
Stack.push(u) // 将节点u压入栈中
for each (u, v) in E // 枚举每一条边
if (v is not visted) // 如果节点v未被访问过
tarjan(v) // 继续向下找
Low[u] = min(Low[u], Low[v])
else if (v in S) // 如果节点u还在栈内
Low[u] = min(Low[u], DFN[v])
if (DFN[u] == Low[u]) // 如果节点u是强连通分量的根
repeat v = S.pop // 将v退栈，为该强连通分量中一个顶点
print v
until (u== v)
}
首先来一张有向图。网上到处都是这个图。我们就一点一点来模拟整个算法。
从1进入 DFN［1］＝LOW［1］＝ ＋＋index －－－－1
入栈 1
由1进入2 DFN［2］＝LOW［2］＝ ＋＋index －－－－2
入栈 1 2
之后由2进入3 DFN［3］＝LOW［3］＝ ＋＋index －－－－3
入栈 1 2 3
之后由3进入 6 DFN［6］＝LOW［6］＝＋＋index －－－－4
入栈 1 2 3 6
之后发现 嗯？ 6无出度，之后判断 DFN［6］＝＝LOW［6］
说明6是个强连通分量的根节点：6及6以后的点 出栈。
栈： 1 2 3
之后退回 节点3 Low[3] = min(Low[3], Low[6]) LOW［3］还是 3
节点3 也没有再能延伸的边了，判断 DFN［3］＝＝LOW［3］
说明3是个强连通分量的根节点：3及3以后的点 出栈。
栈： 1 2
之后退回 节点2 嗯？！往下到节点5
DFN［5］＝LOW［5］＝ ＋＋index －－－－－5
入栈 1 2 5
ps：你会发现在有向图旁边的那个丑的（划掉）搜索树 用红线剪掉的子树，那个就是强连通分量子树。每次找到一个。直接。一剪子下去。半个子树就没有了。。
结点5 往下找，发现节点6 DFN［6］有值，被访问过。就不管它。
继续 5往下找，找到了节点1 他爸爸的爸爸。。DFN［1］被访问过并且还在栈中，说明1还在这个强连通分量中，值得发现。 Low[5] = min(Low[5], DFN[1])
确定关系，在这棵强连通分量树中，5节点要比1节点出现的晚。所以5是1的子节点。so
LOW［5］＝ 1
由5继续回到2 Low[2] = min(Low[2], Low[5])
LOW［2］＝1；
由2继续回到1 判断 Low[1] = min(Low[1], Low[2])
LOW［1］还是 1
1还有边没有走过。发现节点4，访问节点4
DFN［4］＝LOW［4］＝＋＋index －－－－6
入栈 1 2 5 4
由节点4，走到5，发现5被访问过了，5还在栈里，
Low[4] = min(Low[4], DFN[5]) LOW［4］＝5
说明4是5的一个子节点。
由4回到1.
回到1，判断 Low[1] = min(Low[1], Low[4])
LOW［1］还是 1 。
判断 LOW［1］ ＝＝ DFN［1］
诶？！相等了 说明以1为根节点的强连通分量已经找完了。
将栈中1以及1之后进栈的所有点，都出栈。
栈 ：（鬼都没有了）
这个时候就完了吗？！
你以为就完了吗？！
然而并没有完，万一你只走了一遍tarjan整个图没有找完怎么办呢？！
所以。tarjan的调用最好在循环里解决。
like 如果这个点没有被访问过，那么就从这个点开始tarjan一遍。
因为这样好让每个点都被访问到。
来一道裸代码。
输入：
一个图有向图。
输出：
它每个强连通分量。
这个图就是刚才讲的那个图。一模一样。
input:
6 8
1 3
1 2
2 4
3 4
3 5
4 6
4 1
5 6
output:
6
5
3 4 2 1
1 #include<cstdio>
2 #include<algorithm>
3 #include<string.h>
4 using namespace std;
5 struct node {
6 int v,next;
7 }edge[1001];
8 int DFN[1001],LOW[1001];
9 int stack[1001],heads[1001],visit[1001],cnt,tot,index;
10 void add(int x,int y)
11 {
12 edge[++cnt].next=heads[x];
13 edge[cnt].v = y;
14 heads[x]=cnt;
15 return ;
16 }
17 void tarjan(int x)//代表第几个点在处理。递归的是点。
18 {
19 DFN[x]=LOW[x]=++tot;// 新进点的初始化。
20 stack[++index]=x;//进站
21 visit[x]=1;//表示在栈里
22 for(int i=heads[x];i!=-1;i=edge[i].next)
23 {
24 if(!DFN[edge[i].v]) {//如果没访问过
25 tarjan(edge[i].v);//往下进行延伸，开始递归
26 LOW[x]=min(LOW[x],LOW[edge[i].v]);//递归出来，比较谁是谁的儿子／父亲，就是树的对应关系，涉及到强连通分量子树最小根的事情。
27 }
28 else if(visit[edge[i].v ]){ //如果访问过，并且还在栈里。
29 LOW[x]=min(LOW[x],DFN[edge[i].v]);//比较谁是谁的儿子／父亲。就是链接对应关系
30 }
31 }
32 if(LOW[x]==DFN[x]) //发现是整个强连通分量子树里的最小根。
33 {
34 do{
35 printf("%d ",stack[index]);
36 visit[stack[index]]=0;
37 index--;
38 }while(x!=stack[index+1]);//出栈，并且输出。
39 printf("\n");
40 }
41 return ;
42 }
43 int main()
44 {
45 memset(heads,-1,sizeof(heads));
46 int n,m;
47 scanf("%d%d",&n,&m);
48 int x,y;
49 for(int i=1;i<=m;i++)
50 {
51 scanf("%d%d",&x,&y);
52 add(x,y);
53 }
54 for(int i=1;i<=n;i++)
55 if(!DFN[i]) tarjan(1);//当这个点没有访问过，就从此点开始。防止图没走完
56 return 0;
57 }
1. 割点与连通度
在无向连通图中，删除一个顶点v及其相连的边后，原图从一个连通分量变成了两个或多个连通分量，则称顶点v为割点，同时也称关节点(Articulation Point)。一个没有关节点的连通图称为重连通图(biconnected graph)。若在连通图上至少删去k 个顶点才能破坏图的连通性，则称此图的连通度为k。
关节点和重连通图在实际中较多应用。显然，一个表示通信网络的图的连通度越高，其系统越可靠，无论是哪一个站点出现故障或遭到外界破坏，都不影响系统的正常工作；又如，一个航空网若是重连通的，则当某条航线因天气等某种原因关闭时，旅客仍可从别的航线绕道而行；再如，若将大规模的集成电路的关键线路设计成重连通的话，则在某些元件失效的情况下，整个片子的功能不受影响，反之，在战争中，若要摧毁敌方的运输线，仅需破坏其运输网中的关节点即可。
简单的例子
(a)中G7 是连通图，但不是重连通图。图中有三个关节点A、B 和G 。若删去顶点B 以及所有依附顶点B 的边，G7 就被分割成三个连通分量{A、C、F、L、M、J}、{G、H、I、K}和{D、E}。类似地，若删去顶点A 或G 以及所依附于它们的边，则G7 被分割成两个连通分量。
2. 求割点的方法
暴力的方法：
- 依次删除每一个节点v
- 用DFS（或BFS）判断还是否连通
- 再把节点v加入图中
若用邻接表（adjacency list），需要做VV次DFS，时间复杂度为O(V∗(V+E))O(V∗(V+E))。（题外话：我在面试实习的时候，只想到暴力方法；面试官提示只要一次DFS就就可以找到割点，当时死活都没想出来）。
有关DFS搜索树的概念
在介绍算法之前，先介绍几个基本概念
- DFS搜索树：用DFS对图进行遍历时，按照遍历次序的不同，我们可以得到一棵DFS搜索树，如图(b)所示。
- 树边：（在[2]中称为父子边），在搜索树中的实线所示，可理解为在DFS过程中访问未访问节点时所经过的边。
- 回边：（在[2]中称为返祖边、后向边），在搜索树中的虚线所示，可理解为在DFS过程中遇到已访问节点时所经过的边。
基于DFS的算法
该算法是R.Tarjan发明的。观察DFS搜索树，我们可以发现有两类节点可以成为割点：
- 对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点；
- 对非叶子节点u（非根节点），若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与u的子树的节点不再连通；则节点u为割点。
对于根结点，显然很好处理；但是对于非叶子节点，怎么去判断有没有回边是一个值得深思的问题。
我们用dfn[u]记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小），那么low[u]的计算过程如下：
下表给出图(a)对应的dfn与low数组值。
| i | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| vertex | A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M |
| dfn[i] | 1 | 5 | 12 | 10 | 11 | 13 | 8 | 6 | 9 | 4 | 7 | 2 | 3 |
| low[i] | 1 | 1 | 1 | 5 | 5 | 1 | 5 | 5 | 8 | 2 | 5 | 1 | 1 |
对于情况2，当(u,v)为树边且low[v] >= dfn[u]时，节点u才为割点。该式子的含义：以节点v为根的子树所能追溯到最早的祖先节点要么为v要么为u。
代码实现
void dfs(int u) {
//记录dfs遍历次序
static int counter = 0;
//记录节点u的子树数
int children = 0;
ArcNode *p = graph[u].firstArc;
visit[u] = 1;
//初始化dfn与low
dfn[u] = low[u] = ++counter;
for(; p != NULL; p = p->next) {
int v = p->adjvex;
//节点v未被访问，则(u,v)为树边
if(!visit[v]) {
children++;
parent[v] = u;
dfs(v);
low[u] = min(low[u], low[v]);
//case (1)
if(parent[u] == NIL && children > 1) {
printf("articulation point: %d\n", u);
}
//case (2)
if(parent[u] != NIL && low[v] >= dfn[u]) {
printf("articulation point: %d\n", u);
}
}
//节点v已访问，则(u,v)为回边
else if(v != parent[u]) {
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}
}采用邻接表存储图，该算法的时间复杂度应与DFS相同，为O(V+E)O(V+E)。
3. 参考资料
[1] see xidian, 图的连通性—关节点和重连通分量.
[2] byvoid, 图的割点、桥与双连通分支.
[3] GeeksforGeeks, Articulation Points (or Cut Vertices) in a Graph.
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