Bellman-Ford 算法是一种用于计算带权有向图中单源最短路径（SSSP：Single-Source Shortest Path）的算法。该算法由 Richard Bellman 和 Lester Ford 分别发表于 1958 年和 1956 年，而实际上 Edward F. Moore 也在 1957 年发布了相同的算法，因此，此算法也常被称为 Bellman-Ford-Moore 算法。
Bellman-Ford 算法和 Dijkstra 算法同为解决单源最短路径的算法。对于带权有向图 G = (V, E)，Dijkstra 算法要求图 G 中边的权值均为非负，而 Bellman-Ford 算法能适应一般的情况（即存在负权边的情况）。一个实现的很好的 Dijkstra 算法比 Bellman-Ford 算法的运行时间要低。
Bellman-Ford 算法采用动态规划（Dynamic Programming）进行设计，实现的时间复杂度为 O(V*E)，其中 V 为顶点数量，E 为边的数量。Dijkstra 算法采用贪心算法（Greedy Algorithm）范式进行设计，普通实现的时间复杂度为 O(V2)，若基于 Fibonacci heap 的最小优先队列实现版本则时间复杂度为 O(E + VlogV)。
Bellman-Ford 算法描述：
- 创建源顶点 v 到图中所有顶点的距离的集合 distSet，为图中的所有顶点指定一个距离值，初始均为 Infinite，源顶点距离为 0；
- 计算最短路径，执行 V - 1 次遍历；
- 对于图中的每条边：如果起点 u 的距离 d 加上边的权值 w 小于终点 v 的距离 d，则更新终点 v 的距离值 d；
- 检测图中是否有负权边形成了环，遍历图中的所有边，计算 u 至 v 的距离，如果对于 v 存在更小的距离，则说明存在环；
伪码实现如下：
BELLMAN-FORD(G, w, s)
INITIALIZE-SINGLE-SOURCE(G, s)
for i to |V[G]| -
do for each edge (u, v) E[G]
do RELAX(u, v, w)
for each edge (u, v) E[G]
do if d[v] > d[u] + w(u, v)
then return FALSE
return TRUE
Bellman-Ford 算法的运行时间为 O(V*E)，因为第 2 行的初始化占用了 Θ(V)，第 3-4 行对边进行了 V - 1 趟操作，每趟操作的运行时间为 Θ(E)。第 6-7 行的 for 循环运行时间为 O(E)。
例如，下面的有向图 G 中包含 5 个顶点和 8 条边。假设源点 为 A。初始化 distSet 所有距离为 INFI，源点 A 为 0。
由于图中有 5 个顶点，按照步骤 1 需要遍历 4 次，第一次遍历的结果如下。
第二次遍历的结果如下。
以此类推可以得出完全遍历的结果。
C# 代码实现：
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq; namespace GraphAlgorithmTesting
{
class Program
{
static void Main(string[] args)
{
int[,] graph = new int[, ]
{
{, , , , , , , , },
{, , , , , , , , },
{, , , , , , , , },
{, , , , , , , , },
{, , , , , , , , },
{, , , , , , , , },
{, , , , , , , , },
{, , , , , , , , },
{, , , , , , , , }
}; Graph g = new Graph(graph.GetLength());
for (int i = ; i < graph.GetLength(); i++)
{
for (int j = ; j < graph.GetLength(); j++)
{
if (graph[i, j] > )
g.AddEdge(i, j, graph[i, j]);
}
} Console.WriteLine("Graph Vertex Count : {0}", g.VertexCount);
Console.WriteLine("Graph Edge Count : {0}", g.EdgeCount);
Console.WriteLine(); int[] distSet = g.BellmanFord();
Console.WriteLine("Vertex\t\tDistance from Source");
for (int i = ; i < distSet.Length; i++)
{
Console.WriteLine("{0}\t\t{1}", i, distSet[i]);
} // build a directed and negative weighted graph
Graph directedGraph = new Graph();
directedGraph.AddEdge(, , -);
directedGraph.AddEdge(, , );
directedGraph.AddEdge(, , );
directedGraph.AddEdge(, , );
directedGraph.AddEdge(, , );
directedGraph.AddEdge(, , );
directedGraph.AddEdge(, , );
directedGraph.AddEdge(, , -); Console.WriteLine();
Console.WriteLine("Graph Vertex Count : {0}", directedGraph.VertexCount);
Console.WriteLine("Graph Edge Count : {0}", directedGraph.EdgeCount);
Console.WriteLine(); int[] distSet1 = directedGraph.BellmanFord();
Console.WriteLine("Vertex\t\tDistance from Source");
for (int i = ; i < distSet1.Length; i++)
{
Console.WriteLine("{0}\t\t{1}", i, distSet1[i]);
} Console.ReadKey();
} class Edge
{
public Edge(int begin, int end, int weight)
{
this.Begin = begin;
this.End = end;
this.Weight = weight;
} public int Begin { get; private set; }
public int End { get; private set; }
public int Weight { get; private set; } public override string ToString()
{
return string.Format(
"Begin[{0}], End[{1}], Weight[{2}]",
Begin, End, Weight);
}
} class Graph
{
private Dictionary<int, List<Edge>> _adjacentEdges
= new Dictionary<int, List<Edge>>(); public Graph(int vertexCount)
{
this.VertexCount = vertexCount;
} public int VertexCount { get; private set; } public int EdgeCount
{
get
{
return _adjacentEdges.Values.SelectMany(e => e).Count();
}
} public void AddEdge(int begin, int end, int weight)
{
if (!_adjacentEdges.ContainsKey(begin))
{
var edges = new List<Edge>();
_adjacentEdges.Add(begin, edges);
} _adjacentEdges[begin].Add(new Edge(begin, end, weight));
} public int[] BellmanFord(int source)
{
// distSet[i] will hold the shortest distance from source to i
int[] distSet = new int[VertexCount]; // Step 1: Initialize distances from source to all other vertices as INFINITE
for (int i = ; i < VertexCount; i++)
{
distSet[i] = int.MaxValue;
}
distSet[source] = ; // Step 2: Relax all edges |V| - 1 times. A simple shortest path from source
// to any other vertex can have at-most |V| - 1 edges
for (int i = ; i <= VertexCount - ; i++)
{
foreach (var edge in _adjacentEdges.Values.SelectMany(e => e))
{
int u = edge.Begin;
int v = edge.End;
int weight = edge.Weight; if (distSet[u] != int.MaxValue
&& distSet[u] + weight < distSet[v])
{
distSet[v] = distSet[u] + weight;
}
}
} // Step 3: check for negative-weight cycles. The above step guarantees
// shortest distances if graph doesn't contain negative weight cycle.
// If we get a shorter path, then there is a cycle.
foreach (var edge in _adjacentEdges.Values.SelectMany(e => e))
{
int u = edge.Begin;
int v = edge.End;
int weight = edge.Weight; if (distSet[u] != int.MaxValue
&& distSet[u] + weight < distSet[v])
{
Console.WriteLine("Graph contains negative weight cycle.");
}
} return distSet;
}
}
}
}
运行结果如下：
参考资料
- 广度优先搜索
- 深度优先搜索
- Breadth First Traversal for a Graph
- Depth First Traversal for a Graph
- Dijkstra 单源最短路径算法
- Bellman–Ford algorithm
- Introduction To Algorithm
- Floyd-Warshall's algorithm
- Bellman-Ford algorithm for single-source shortest paths
- Dynamic Programming | Set 23 (Bellman–Ford Algorithm)
本篇文章《Bellman-Ford 单源最短路径算法》由 Dennis Gao 发表自博客园，未经作者本人同意禁止任何形式的转载，任何自动或人为的爬虫转载行为均为耍流氓。