浅谈压缩感知（二十五）：压缩感知重构算法之分段正交匹配追踪（StOMP）

主要内容：

StOMP的算法流程
StOMP的MATLAB实现
一维信号的实验与结果
门限参数Ts、测量数M与重构成功概率关系的实验与结果

一、StOMP的算法流程

分段正交匹配追踪(Stagewise OMP)也是由OMP改进而来的一种贪心算法，与CoSaMP、SP算法类似，不同之处在于CoSaMP、SP算法在迭代过程中选择的是与信号内积最大的2K或K个原子，而StOMP是通过门限阈值来确定原子。此算法的输入参数中没有信号稀疏度K，因此相比于ROMP及CoSaMP有独到的优势（这句话存在疑问）。

StOMP的算法流程：

浅谈压缩感知（二十五）：压缩感知重构算法之分段正交匹配追踪（StOMP）

二、StOMP的MATLAB实现(CS_StOMP.m)

function [ theta ] = CS_StOMP( y,A,S,ts )

%   CS_StOMP

%   Detailed explanation goes here

%   y = Phi * x

%   x = Psi * theta

%    y = Phi*Psi * theta

%   令 A = Phi*Psi, 则y=A*theta

%   S is the maximum number of StOMP iterations to perform

%   ts is the threshold parameter

%   现在已知y和A，求theta

%   Reference:Donoho D L，Tsaig Y，Drori I，Starck J L．Sparse solution of

%   underdetermined linear equations by stagewise orthogonal matching

%   pursuit[J]．IEEE Transactions on Information Theory，，()：—

    if nargin <

        ts = 2.5; %ts范围[,],默认值为2.

    end

    if nargin <

        S = ; %S默认值为10

    end

    [y_rows,y_columns] = size(y);

    if y_rows<y_columns

        y = y'; %y should be a column vector

    end

    [M,N] = size(A); %传感矩阵A为M*N矩阵

    theta = zeros(N,); %用来存储恢复的theta(列向量)

    pos_num = []; %用来迭代过程中存储A被选择的列序号

    res = y; %初始化残差(residual)为y

    for ss=:S %最多迭代S次

        product = A'*res; %传感矩阵A各列与残差的内积

        sigma = norm(res)/sqrt(M); %参见参考文献第3页Remarks()

        Js = find(abs(product)>ts*sigma); %选出大于阈值的列

        Is = union(pos_num,Js); %pos_num与Js并集

        if length(pos_num) == length(Is)

            if ss==

                theta_ls = ; %防止第1次就跳出导致theta_ls无定义

            end

            break; %如果没有新的列被选中则跳出循环

        end

        %At的行数要大于列数，此为最小二乘的基础(列线性无关)

        if length(Is)<=M

            pos_num = Is; %更新列序号集合

            At = A(:,pos_num); %将A的这几列组成矩阵At

        else %At的列数大于行数，列必为线性相关的,At'*At将不可逆

            if ss==

                theta_ls = ; %防止第1次就跳出导致theta_ls无定义

            end

            break; %跳出for循环

        end

        %y=At*theta，以下求theta的最小二乘解(Least Square)

        theta_ls = (At'*At)^(-1)*At'*y; %最小二乘解

        %At*theta_ls是y在At列空间上的正交投影

        res = y - At*theta_ls; %更新残差

        if norm(res)<1e- %Repeat the steps until r=

            break; %跳出for循环

        end

    end

    theta(pos_num)=theta_ls; %恢复出的theta

end

三、一维信号的实验与结果

%压缩感知重构算法测试

clear all;close all;clc;

M = ; %观测值个数

N = ; %信号x的长度

K = ; %信号x的稀疏度

Index_K = randperm(N);

x = zeros(N,);

x(Index_K(:K)) = *randn(K,); %x为K稀疏的，且位置是随机的

Psi = eye(N); %x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta

Phi = randn(M,N)/sqrt(M); %测量矩阵为高斯矩阵

A = Phi * Psi; %传感矩阵

y = Phi * x; %得到观测向量y

%% 恢复重构信号x

tic

theta = CS_StOMP(y,A);

x_r = Psi * theta; % x=Psi * theta

toc

%% 绘图

figure;

plot(x_r,'k.-'); %绘出x的恢复信号

hold on;

plot(x,'r'); %绘出原信号x

hold off;

legend('Recovery','Original')

fprintf('\n恢复残差：');

norm(x_r-x) %恢复残差

浅谈压缩感知（二十五）：压缩感知重构算法之分段正交匹配追踪（StOMP）

四、门限参数ts、测量数M与重构成功概率关系的实验与结果

clear all;close all;clc;

%% 参数配置初始化

CNT = ;%对于每组(K,M,N)，重复迭代次数

N = ;%信号x的长度

Psi = eye(N);%x本身是稀疏的，定义稀疏矩阵为单位阵x=Psi*theta

ts_set = :0.2:;

K_set = [,,,,];%信号x的稀疏度集合

Percentage = zeros(N,length(K_set),length(ts_set));%存储恢复成功概率

%% 主循环，遍历每组(ts,K,M,N)

tic

for tt = :length(ts_set)

    ts = ts_set(tt);

    for kk = :length(K_set)

        K = K_set(kk);%本次稀疏度

        %M没必要全部遍历，每隔5测试一个就可以了

        M_set=*K::N;

        PercentageK = zeros(,length(M_set));%存储此稀疏度K下不同M的恢复成功概率

        for mm = :length(M_set)

           M = M_set(mm);%本次观测值个数

           fprintf('ts=%f,K=%d,M=%d\n',ts,K,M);

           P = ;

           for cnt = :CNT %每个观测值个数均运行CNT次

                Index_K = randperm(N);

                x = zeros(N,);

                x(Index_K(:K)) = *randn(K,);%x为K稀疏的，且位置是随机的

                Phi = randn(M,N)/sqrt(M);%测量矩阵为高斯矩阵

                A = Phi * Psi;%传感矩阵

                y = Phi * x;%得到观测向量y

                theta = CS_StOMP(y,A,,ts);%恢复重构信号theta

                x_r = Psi * theta;% x=Psi * theta

                if norm(x_r-x)<1e-%如果残差小于1e-6则认为恢复成功

                    P = P + ;

                end

           end

           PercentageK(mm) = P/CNT*;%计算恢复概率

        end

        Percentage(:length(M_set),kk,tt) = PercentageK;

    end

end

toc

save StOMPMtoPercentage1000 %运行一次不容易，把变量全部存储下来

%% 绘图

for tt = :length(ts_set)

    S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*'];

    figure;

    for kk = :length(K_set)

        K = K_set(kk);

        M_set=*K::N;

        L_Mset = length(M_set);

        plot(M_set,Percentage(:L_Mset,kk,tt),S(kk,:));%绘出x的恢复信号

        hold on;

    end

    hold off;

    xlim([ ]);

    legend('K=4','K=12','K=20','K=28','K=36');

    xlabel('Number of measurements(M)');

    ylabel('Percentage recovered');

    title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,ts=',...

        num2str(ts_set(tt)),')(Gaussian)']);

end

for kk = :length(K_set)

    K = K_set(kk);

    M_set=*K::N;

    L_Mset = length(M_set);

    S = ['-ks';'-ko';'-kd';'-kv';'-k*';'-k+'];

    figure;

    for tt = :length(ts_set)

        plot(M_set,Percentage(:L_Mset,kk,tt),S(tt,:));%绘出x的恢复信号

        hold on;

    end

    hold off;

    xlim([ ]);

    legend('ts=2.0','ts=2.2','ts=2.4','ts=2.6','ts=2.8','ts=3.0');

    xlabel('Number of measurements(M)');

    ylabel('Percentage recovered');

    title(['Percentage of input signals recovered correctly(N=256,K=',...

        num2str(K),')(Gaussian)']);

end