HDU 2176 取(m堆)石子游戏 (尼姆博奕)

时间:2023-03-08 20:33:27

题目链接:http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=2176

m堆石子,两人轮流取.只能在1堆中取.取完者胜.先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出怎样取子.例如5堆 5,7,8,9,10先取者胜,先取者第1次取时可以从有8个的那一堆取走7个剩下1个,也可以从有9个的中那一堆取走9个剩下0个,也可以从有10个的中那一堆取走7个剩下3个.

Input输入有多组.每组第1行是m,m<=200000. 后面m个非零正整数.m=0退出. 
Output先取者负输出No.先取者胜输出Yes,然后输出先取者第1次取子的所有方法.如果从有a个石子的堆中取若干个后剩下b个后会胜就输出a b.参看Sample Output. 
Sample Input

2
45 45
3
3 6 9
5
5 7 8 9 10
0

Sample Output

No
Yes
9 5
Yes
8 1
9 0
10 3 题解:通常的Nim游戏的定义是这样的:
有若干堆石子,每堆石子的数量都是有限的,合法的移动是“选择一堆石子并拿走若干颗(不能不拿)”,如果轮到某个人时所有的石子堆都已经被拿空了,则判负(因为他此刻没有任何合法的移动)。
结论:
必败状态:a1^a2^......^an=0
必胜状态:a1^a2^.......^an=k (其中k不为零)
证明:
terminal position只有一个,就是全0,异或仍然是0。
对于某个局面(a1,a2,...,an),若a1^a2^...^an!=0,一定存在某个合法的移动,将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。不妨设a1^a2^...^an=k,则一定存在某个ai,它的二进制表示在k的最高位上是1(否则k的最高位那个1是怎么得到的)。这时ai^k<ai一定成立。则我们可以将ai改变成ai'=ai^k,此时a1^a2^...^ai'^...^an=a1^a2^...^an^k=0。
对于某个局面(a1,a2,...,an),若a1^a2^...^an=0,一定不存在某个合法的移动,将ai改变成ai'后满足a1^a2^...^ai'^...^an=0。因为异或运算满足消去率,由a1^a2^...^an=a1^a2^...^ai'^...^an可以得到ai=ai'。所以将ai改变成ai'不是一个合法的移动
所以在这道题中如果当前是必胜的话,那么就要下一个移动的人必败,所以就要改变一个ai变成ai'使得原本的a1^...ai^...^an!=0变成a1^...ai'...^an=0
可以利用ai^k<ai' 判断
 #include <iostream>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N=;
int a[N];
int main()
{
int m,sum,s,i;
while(cin>>m&&m){
sum=;
for(i=;i<m;i++){
cin>>a[i];
sum^=a[i];
}
if(sum==) cout<<"No"<<endl;
else {
cout<<"Yes"<<endl;
for(i=;i<m;i++){
s=sum^a[i];
if(s<a[i]){
cout<<a[i]<<" "<<s<<endl;
}
}
}
}
return ;
}