2016 Sichuan Province Programming Contest
代码
A. Nearest Neighbor Search
- \(dx\)根据\(x_0\)与\([x_1, x_2]\)位置考虑。
- \(dx、dy、dz\)单独考虑。
B. Odd Discount
- 做法一：对于两个不同优惠\((i,j)\)，所有方案中与两个优惠商品交集为奇数，即同时取到两种优惠的个数为\(2^{n-2}\)种。
- 简要证明：
- 记\(x\)为集合\(i\)有而集合\(j\)没有的个数，\(y\)为集合\(j\)有而集合\(i\)没有的个数，剩余\(n-x-y\)个考虑交集与购买方案的交集奇偶性。
- 若交集部分与购买方案的交集为奇数，这种方案有\(2^{n-x-y-1}\)种，那么\(x\)位需要和集合\(i\)的交集为偶数，\(y\)位与集合\(j\)的交集也偶数，方案数分别为\(2^{x-1},2^{y-1}\)，则方案数为\[2^{x-1}\cdot 2^{y-1}\cdot 2^{n-x-y-1}=2^{n-3}\]再考虑交集与购买方案的交集为偶数情况，方案数也是这个，所以总的方案数为\[2^{n-2}\]
- 做法二：参考ICPC-CAMP题解
- 用\(f(p_1,p_2,\cdots,p_i,s_{i+1},s_{i+2},\cdots,s_n,r)\)表示已经购买了\(i\)件商品，\(i+1\cdots n\)的优惠状态为\(s\)，且交集奇偶性为\(r\)的价格之和。
- 按购买的商品个数划分阶段，根据\(p_{i+1}\)和\(s_{i+1}\)来计算交集的奇偶性即可。
E. Coins
- 只有一种硬币时，返回相应的个数。
- \(a_1=0\)，分两种情况：\(a_2=1\)时，\[2\ |\ 3,\times,5\ |\ 6,\times,8\ |\ \cdots\]即从3开始，每三个一组，每组有两个值。
\(a_2>1\)时，构成\[2,3,4,5,6,7,\times,9,\cdots\]
此时，在\(2a_2+3a_3\)范围内有两个值取不到。
- \(a_1>0\)时，分三种情况：
\(a_1 =1, a_2=0\),此时构成\[1,\times,3,4,\times,\times,6,7,\times,\times,\cdots\]
共\(1+2a_3\)种值。
\(a_1>=2, a_2=0\)，可以构出\([1, a_1+3a_3]\)内的值。
\(a_2>0\)，那么总可以构出\([1, a_1+2a_2+3a_3]\)内的所有值。
F. Floyd-Warshall
- 随便构一棵树出来，那么两点之间的路径的最短路要么直接走树边，否则走非树边。
- 因为非树边最多100，涉及200个点，那么可以枚举必经的顶点，bfs到其他点的最短距离，时间复杂度为\(O(200N)\)。
G. Road History
- 若连接的是两个连通块，如果要构成奇数条边，则一边贡献奇数，一边贡献偶数才行。
- 如果连接的是同一个联通块，则构成环，如果构成的环长度为偶数，显然没有什么卵用（如果其他两点需要经过这两个点，走环的任意一侧奇偶性都一样，加入这条边后也没什么改变）。如果环长度为奇数，说明整个连通块任意两点都有奇数长度的路径（因为走到奇环上可以根据需要走其中一侧可以改变路径的奇偶性）。
- 在考虑连通块是否有奇偶性时，在1.中的合并就需要额外考虑奇环的存在。
- 并查集维护时，需要维护当前节点到根的奇偶性，可以维护当前节点与直接父节点的奇偶性，路径压缩时直接连向根节点即可维护节点到根的奇偶性。
I. Longest Increasing Subsequence
- 对于\(n\)个数来说，我们只关心其大小关系，用\(5^5\)枚举每个位置的值在整个序列中的排名。
- 固定排名后，用\(f(i,j)\)表示第\(i\)大的值为\(j\)的方案数，转移时为\[f(i,j)=\sum_{k=0}^{j-1}{f[i-1][k]}\]维护前缀和即可\(O(1)\)转移。
J. Matrix Transformation
