问题：
写一个函数，计算4 000 000 000 以内的最大的那个f(n)=n的值，函数f的功能是统计全部0到n之间全部含有数字1的数字和。比方：f(13)= 6，由于“1”在“1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13”中的总数是6（1,10,11,12,13）。
分析：
一、简单算法 — 枚举
採用“枚举法”对每一个数都计算一遍1的个数。直到枚举完给定范围全部数，找到符合f(n)=n的数。此方法，代码效率极低。运算所需时间巨大。
python版本号代码例如以下：
# -*- coding:utf-8 -*-
# 问题：写一个函数。计算4 000 000 000 以内的最大的那个f(n)=n的值，
# 函数f的功能是统计全部0到n之间全部含有数字1的数字和。比方：f(13)= 6，
# 由于“1”在“1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13”中的总数是6（1,10,11,12,13）。
# by chasdmeng
import time
def Calculation_One_Times(n):
res = 0
while n > 0:
if n == 1:res +=1
n /=10
return res if __name__ == '__main__':
times = 0
i = 0
gMAX = 4000000000L
start = time.time()
while i < gMAX:
times +=Calculation_One_Times(i)
if times ==i:print "f(", i, ") = ", times
i +=1
end = time.time()
print "time:",end - start
二、高效算法 — 剪枝
主要採用剪枝算法对代码运行效率进行优化。求解MAX(f(n)=n)详细算法构建分析例如以下：
1、求数字“0~n”中“1”的个数
基本思想：
t位数字n，求0到n全部数字“1”的数字和。可对1到t位（1相应个位）。每一个位置上“1”出现的次数分别统计，然后求和。
如果。0到n之间的自然数范围内。统计第m位为“1”的个数和。能够分四步骤。第一步骤，如果第二、三步骤的前提条件为第1到第m-1位内各位数字取固定值a。第二步骤。求大于m位的数字中有多少个数字第m位为“1”。
第三步骤，求等于m位的数字中有多少个数字第m位为“1”。
第四步骤，把第1到第m-1位内各位数字变化考虑进去。例如以下图所看到的。
在第二步骤中，须要分两种情况考虑：
（a）给定数n的第m位非0
大于m位的数字中第m位为“1”的数字个数是n/10^m。
（b）给定数n的第m位为0
对于m位的数字中第m位为“1”的数字个数为（n/10^m）-1。这里举例说明，n=300。m=2。由于300的第2位为0。此时n/10^m=3。若按（a）中方法求解得出在第1位固定取a 的条件下（第一步骤中规定的）大于2位的数字中第2位为“1”的数字个数是3，这显然是错误的，由于在0到300中这种数仅仅有“11a”、“21a”，此时正确个数应该是n/10^m-1=2。
（c）合并考虑
大于m位的数字中第m位为“1”的数字个数为(n/(10^(m-1))-1)/10。构造了一个通用公式能够包括（a）、（b）两种情况。
原理是。n/10^m=(n/(10^(m-1)))/10，因为是对n做除是向下取整运算，在给定数n第m位非0情况下。n/10^m=(n/(10^(m-1)))/10=(n/(10^(m-1))-1)/10；而当给定数n第m位为0情况下，(n/10^m)-1=(n/(10^(m-1))-1)/10。能够举详细数字对其验证。
在第三步骤中，因为在第一步骤假定的前提条件。满足求等于m位的数字中第m位为“1”的个数仅仅有1个。
这里举例说明，n=300。m=2。2位数字中第2位为“1”的数仅有“1a”。
在第四步骤中，综合第一、二、三步骤后。在第1到第m-1位内各位数字取固定值a的条件下，第m位为“1”的个数和为(n/(10^(m-1))- 1)/10+1。
以下把第1到第m-1位内各位数字变化考虑进去，因为在第1到第m-1位中每一位能够放0~9之间随意数。m-1位数共同拥有“10^m-1”个。
终于，0到n之间的自然数范围内，第m位为“1”的个数和((n/(10^(m-1))- 1)/10+1）*(10^(m-1))。
小结：对以上分析结果给予公式化定义。Cm=((n/i - 1)/10 + 1)*i，当中i=10^(m-1)，n为随意自然数。Cm为0到n的数中第m位为1 的 个数和。
求数字“0~n”中“1”个数的GetTimes()函数，python版代码例如以下：
def GetTimes(n):
temp = n
temp2 =1
ret = 0
i = 1
while temp/i:
ret +=(((temp/i-1)/10)+1)*i
if(((temp/i)%10) == 1):
ret -=i
ret +=temp2
i*=10
temp2=n%i+1
return ret
2、从0到n位最大数之间1的总个数，寻找数学规律
当n=1,2,3,...,6,...时。分别计算从0到n位最大数之间1的总个数，部分数据例如以下：
0~9 ：1
0~99 ：20 = 10*1 + 10
0~999 ：300 = 10*20 + 100
0~9999 ：4000 = 10*300 + 1000
0~99999 ：50000 = 10*4000 + 10000
0~999999：600000 = 10*50000 + 100000
… …
从中。能够发现例如以下规律：
a1 = 1
a2 = 10*a1 + 10
…
an = 10*an - 1 + 10^(n - 1)
即0~9…9（n个9）之间1的个数为an=10*an-1+10^(n-1)个。
这样，当计算随意一个数字n的0到n之间全部数字1的个数和时，能够採用将数字n拆分成0~9、0~99... 等部分进行之间计算。
比如：n=123。可将n拆分为0~99和100~123计算：(1)0~99相应1的个数和直接可知为20；(2)百位数1的个数为23+1个。(3)剩下的0~23继续拆分为0~9、10~19、20~23，共两个0~9个数为2；(4)由于23中十位数2>1，十位为1的个数10；(5)如今就剩下20~23了，个数为1。所以，0~123中1的个数为20+24+2+10+1=57。
因此，在求随意数0~n内全部1的个数和时，能够首先建立“int gTable[10]”结构用于存放a1、a2、a3、...、a9、a10。当中an表示0~n内全部1的个数，然后将数n拆分为0~9、0~99... 等部分直接使用gTable的值进行计算。
这样的方式能够提高算法效率。
生成gTable[]结构的TimesTable()函数。python版代码例如以下：
def TimesTable(n):
return [GetTimes(10**(i+1) - 1) for i in xrange(n)]
3、採用剪枝算法搜索0~n之间满足f(q)=q的数
因为若对0~n的全部数据进行枚举验证f(q)=q，当n值非常大时运算相当费时，从本文开头给出的“最简单方法”中能够感受到代码效率有多么低。为了优化算法提高效率可採用减枝算法，其思想是对0~n之间全部数建立搜索树，对不符合条件的搜索树进行剪枝，这样就能够极大缩小搜索范围，提高算法效率。
怎样构建剪枝规则呢？首先对这个问题进行数学化描写叙述：
定义1：设 f（x）=y，当中x∈ （0，n），f为x与相应的（0，x）上全部数字1的个数总和y的映射。
先观察下f(n)的特点，能够发现f(n)是一个单调递增函数，这样能够归纳出它的特性：
性质1：若有f（m）=a。f（t）=b，且m<t，则存在q∈（m。t）满足f（q）=q成立的条件是：b>m 且a< t。
如今就能够应用“性质1”进行减枝操作。详细来说通过“性质1”可知，当对0~n的全部数据进行枚举验证f(q)=q时，若当f(t)=b<m或f(m)=a>n，则在[m。t]范围内不存在满足f(q)=q成立的数q，这样就可忽略掉[m，t]内这些自然数，直接跳到n+1往后继续枚举。在应用剪枝算法枚举符合条件的f(q)=q时。是以t-m为步长在0~n内逐段排查是否可剪枝，若t-m范围内不满足剪枝条件则进行枚举搜索。因此在进行剪枝算法时[m，t]的范围取多大适合呢？这是须要谨慎考虑的问题，合理的[m，t]取值能让大幅提升算法运行效率。
以下就对[m，t]步长L取值进行分析。
[m，t]的取值根据是能最大化提升算法效率，因为在“2、从0到n位最大数之间1的总个数。寻找数学规律。”中设置了“int gTable[10]”结构用于计算f(n)，gTable分别表示0~9中1个数和1、0~99中1个数和20、0~999中1的个数和300...。可见是以10^p倍增长，并且f(n)还须要使用gTable去求解，因此初步考虑将[m，t]步长L=10^p。尽管[m，t]取10的倍数，但p详细取多少，还须要继续分析。
对于随意s位数m。设s位数的最大值为max(s)，则f(max(s))=gTable[s-1]，假定取[m，t]步长L=10^s也就是 t=m+10^s，设f(m)=a、f(m+10^s)=b。则有m<max(s)<m+10^s，由于f()为单调增函数，推出gT[s-1]=f(max(s))<f(m+10^s)=b。a<gTable[s-1]。又由于在0~10^10-1的范围内有max(s)>gTable[s-1]（能够举例验证），推出a<gTable[s-1]<max(s)<10+10^s。即a<m+10^s。f(m+10^s)=f(10^s-1)+m+1+f(m)=b。即b>m，因此依据性质1可知m=d*10^s时，取[m。t]步长L=10^s恒不满足减枝条件。同理步长L=10^(s+1)也无法满足剪枝条件，因此仅仅能往下取值。对于随意s位数m，取步长L<=10^(s-1)某些数内能够满足减枝条件。举例来说，m=20，s=2，L=10^(s-1)=10。则在[20。30]内f(20)=12、f(30)=13。依据性质1能够剪枝掉[20。30]范围内的数。综上所述，对随意s位数m，m∈
（0，n），剪枝算法初始步长L=10^(s-1) 。
性质2：若有f（m）=a，f（t）=b，且m<t，满足b>m 且a< t时，有f(q)=q，且q∈（m。b]。
性质2是由性质1推到而来。性质2中将原来性质1中q∈（m，t）缩小为q∈（m。b）。首先在0~10^10-1的范围内满足性质1条件下可知b∈（m。t]，设f(b+1)=c。则在(b+1，t)内f(b+1)=c、f(t)=b依据性质1不存在q∈（b+1，t）使f(q)=q成立。
所以，在（m，t）内使f(q)=q成立的q∈（m，b]。
剪枝算法总体思想是：n位数m，步长L=10^(n-1)。在区间（m-1。m+L-1）推断是否满足f(m-1)>boundary或f(m+L-1)<m
。满足就直接跳到m=m+L计算，否则在区间（m-1，f(m+L-1)+L-1）上置步长L=L/10递归反复运行剪枝推断，当递归到步长L=1时，进行逐值枚举f(number)是否等于number。因为算法中m是从0開始枚举取值，以10的倍数递增。因此全部的m都应满足abc*10^s格式，也就是说，m取到的是10的倍数。因此有例如以下性质。
性质3：m=abc*10^(n-1)。L=10^(n-1)。可知f(m-1+L)=f(m-1)+gTable[n-2]+count_one_m*L。当中count_one_m=f(m)-f(m-1)，也就是代表数字m本身包括1的个数。
剪枝算法CalculationTimes()函数。python版代码例如以下 ：
def CalculationTimes(number, weight, count_one, count, table):
if weight == 0:
count += count_one
if number == count:
print "f(", number, ") = ", number
return count
L=10**weight
maxcount = count + table[weight - 1]
maxcount += count_one*L
if count > (number + L -1):
return maxcount
if maxcount < number:
return maxcount
L /= 10
for i in range(10):
if i == 1:
count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one + 1, count, table)
elif i == maxcount/n - 9:
return maxcount
else:
count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one , count, table)
return count
当中。相应前面剪枝算法思想。这里number代表m。weight代表步长L=10^(s-1) 中的s-1，count_one表示数n中各个位置上1的个数，比方n=112，这count_one=2，table代表gTable[]。count代表f(m-1)。详细解释例如以下：
if weight == 0:
count += count_one
if number == count:
print "f(", number, ") = ", number
return count
此部分代码推断当前步长L若为1（L=10^weight）计算f(number)。f(number)通过count+=count_one实现。这是因为在步长L=1前提下，f(number)等于f(number-1)加上数字mumber本身1的个数count_one，既f(number)=f(number-1)+count_one，若f(number)=number。则输出。否则返回当f(number)。
L=10**weight
maxcount = count + table[weight - 1]
maxcount += count_one*L
if count > (number + L -1):
return maxcount
if maxcount < number:
return maxcount
此部分代码功能运行剪枝操作。首先设置步长L=10^weight。依据性质3得f(number+L-1)=count+table[weight-1]+count_one*L。然后依据性质1推断能否够剪枝，若符合条件直接忽略（number-1。number+L-1）范围内数字并跳转到number+L再计算。
L /= 10
for i in range(10):
if i == 1:
count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one + 1, count, table)
elif i == maxcount/n - 9:
return maxcount
else:
count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one , count, table)
return count
若不满足剪枝条件运行此部分代码。首先依据前面描写叙述的剪枝算法总体思想将步长缩短L=L/10，然后依据性质2仅需递归计算（number-1，f(number+L-1)）范围内数就可以。当i==1时，number+i*L这个数本身将多出一个”1“须要将count_one值加1，当i==maxcount/n-9时，number+i*L将超出范围终止计算。
最后，给出总体实现代码。
# -*- coding:utf-8 -*-
# 问题：写一个函数。计算4 000 000 000 以内的最大的那个f(n)=n的值，
# 函数f的功能是统计全部0到n之间全部含有数字1的数字和。 比方：f(13)= 6，
# 由于“1”在“1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13”中的总数是6（1,10,11,12,13）。 # by chasdmeng
import time
def GetTimes(n):
temp = n
temp2 =1
ret = 0
i = 1
while temp/i:
ret +=(((temp/i-1)/10)+1)*i
if(((temp/i)%10) == 1):
ret -=i
ret +=temp2
i*=10
temp2=n%i+1
return ret
def TimesTable(n):
return [GetTimes(10**(i+1) - 1) for i in xrange(n)]
def CountOne(n):
count = 0
while n:
if (n%10) == 1:count +=1
n /=10
return count
def CalculationTimes(number, weight, count_one, count, table):
if weight == 0:
count += count_one
if number == count:
print "f(", number, ") = ", number
return count
L=10**weight
maxcount = count + table[weight - 1]
maxcount += count_one*L
if count > (number + L -1):
return maxcount
if maxcount < number:
return maxcount
L /= 10
for i in range(10):
if i == 1:
count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one + 1, count, table)
elif i == maxcount/n - 9:
return maxcount
else:
count = CalculationTimes(number + i*L, weight - 1, count_one , count, table)
return count if __name__ == '__main__':
n = 0
weight = 0
count = 0
count_one = 0
gMAX = 4000000000L
start = time.time()
table = TimesTable(10)
while n < gMAX:
count = CalculationTimes(n, weight, count_one , count, table)
L = 10**weight
n += L
if (n/L)/10 == 1: weight +=1
count_one = CountOne(n)
end = time.time()
print "time:",end - start
by chasdmeng
參考文献：
博客：http://blog.****.net/livelylittlefish/article/details/2768348
书籍：《程序猿面试宝典（第4版）》P240。面试例题5
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