我们知道，二叉查找树相对来说比较容易形成最坏的链表情况，所以前辈们想尽了各种优化策略，包括AVL，红黑，以及今天
要讲的Treap树。
Treap树算是一种简单的优化策略，这名字大家也能猜到，树和堆的合体，其实原理比较简单，在树中维护一个"优先级“，”优先级“
采用随机数的方法，但是”优先级“必须满足根堆的性质，当然是“大根堆”或者“小根堆”都无所谓，比如下面的一棵树：
从树中我们可以看到：
①：节点中的key满足“二叉查找树”。
②：节点中的“优先级”满足小根堆。
一：基本操作
1：定义
#region Treap树节点
/// <summary>
/// Treap树
/// </summary>
/// <typeparam name="K"></typeparam>
/// <typeparam name="V"></typeparam>
public class TreapNode<K, V>
{
/// <summary>
/// 节点元素
/// </summary>
public K key; /// <summary>
/// 优先级（采用随机数）
/// </summary>
public int priority; /// <summary>
/// 节点中的附加值
/// </summary>
public HashSet<V> attach = new HashSet<V>(); /// <summary>
/// 左节点
/// </summary>
public TreapNode<K, V> left; /// <summary>
/// 右节点
/// </summary>
public TreapNode<K, V> right; public TreapNode() { } public TreapNode(K key, V value, TreapNode<K, V> left, TreapNode<K, V> right)
{
//KV键值对
this.key = key;
this.priority = new Random(DateTime.Now.Millisecond).Next(,int.MaxValue);
this.attach.Add(value); this.left = left;
this.right = right;
}
}
#endregion
节点里面定义了一个priority作为“堆定义”的旋转因子，因子采用“随机数“。
2：添加
首先我们知道各个节点的“优先级”是采用随机数的方法，那么就存在一个问题，当我们插入一个节点后，优先级不满足“堆定义"的
时候我们该怎么办，前辈说此时需要旋转，直到满足堆定义为止。
旋转有两种方式，如果大家玩转了AVL，那么对Treap中的旋转的理解轻而易举。
①： 左左情况旋转
从图中可以看出，当我们插入“节点12”的时候，此时“堆性质”遭到破坏，必须进行旋转，我们发现优先级是6<9，所以就要进行
左左情况旋转，最终也就形成了我们需要的结果。
②： 右右情况旋转
既然理解了”左左情况旋转“，右右情况也是同样的道理，优先级中发现“6<9"，进行”右右旋转“最终达到我们要的效果。
#region 添加操作
/// <summary>
/// 添加操作
/// </summary>
/// <param name="key"></param>
/// <param name="value"></param>
public void Add(K key, V value)
{
node = Add(key, value, node);
}
#endregion #region 添加操作
/// <summary>
/// 添加操作
/// </summary>
/// <param name="key"></param>
/// <param name="value"></param>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public TreapNode<K, V> Add(K key, V value, TreapNode<K, V> tree)
{
if (tree == null)
tree = new TreapNode<K, V>(key, value, null, null); //左子树
if (key.CompareTo(tree.key) < )
{
tree.left = Add(key, value, tree.left); //根据小根堆性质，需要”左左情况旋转”
if (tree.left.priority < tree.priority)
{
tree = RotateLL(tree);
}
} //右子树
if (key.CompareTo(tree.key) > )
{
tree.right = Add(key, value, tree.right); //根据小根堆性质，需要”右右情况旋转”
if (tree.right.priority < tree.priority)
{
tree = RotateRR(tree);
}
} //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）
if (key.CompareTo(tree.key) == )
tree.attach.Add(value); return tree;
}
#endregion
3:删除
跟普通的二叉查找树一样，删除结点存在三种情况。
①：叶子结点
跟普通查找树一样，直接释放本节点即可。
②：单孩子结点
跟普通查找树一样操作。
③：满孩子结点
其实在treap中删除满孩子结点有两种方式。
第一种：跟普通的二叉查找树一样，找到“右子树”的最左结点（15），拷贝元素的值，但不拷贝元素的优先级，然后在右子树中
删除“结点15”即可，最终效果如下图。
第二种：将”结点下旋“，直到该节点不是”满孩子的情况“，该赋null的赋null，该将孩子结点顶上的就顶上，如下图：
当然从理论上来说，第二种删除方法更合理，这里我写的就是第二种情况的代码。
#region 删除当前树中的节点
/// <summary>
/// 删除当前树中的节点
/// </summary>
/// <param name="key"></param>
/// <returns></returns>
public void Remove(K key, V value)
{
node = Remove(key, value, node);
}
#endregion #region 删除当前树中的节点
/// <summary>
/// 删除当前树中的节点
/// </summary>
/// <param name="key"></param>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public TreapNode<K, V> Remove(K key, V value, TreapNode<K, V> tree)
{
if (tree == null)
return null; //左子树
if (key.CompareTo(tree.key) < )
{
tree.left = Remove(key, value, tree.left);
}
//右子树
if (key.CompareTo(tree.key) > )
{
tree.right = Remove(key, value, tree.right);
}
/*相等的情况*/
if (key.CompareTo(tree.key) == )
{
//判断里面的HashSet是否有多值
if (tree.attach.Count > )
{
//实现惰性删除
tree.attach.Remove(value);
}
else
{
//有两个孩子的情况
if (tree.left != null && tree.right != null)
{
//如果左孩子的优先级低就需要“左旋”
if (tree.left.priority < tree.right.priority)
{
tree = RotateLL(tree);
}
else
{
//否则“右旋”
tree = RotateRR(tree);
} //继续旋转
tree = Remove(key, value, tree);
}
else
{
//如果旋转后已经变成了叶子节点则直接删除
if (tree == null)
return null; //最后就是单支树
tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;
}
}
} return tree;
}
#endregion
4:总结
treap树在CURD中是期望的logN，由于我们加了”优先级“,所以会出现”链表“的情况几乎不存在，但是他的Add和Remove相比严格的
平衡二叉树有更少的旋转操作，可以说性能是在”普通二叉树“和”平衡二叉树“之间。
最后是总运行代码，不过这里我就不做测试了。
using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text; namespace DataStruct
{
#region Treap树节点
/// <summary>
/// Treap树
/// </summary>
/// <typeparam name="K"></typeparam>
/// <typeparam name="V"></typeparam>
public class TreapNode<K, V>
{
/// <summary>
/// 节点元素
/// </summary>
public K key; /// <summary>
/// 优先级（采用随机数）
/// </summary>
public int priority; /// <summary>
/// 节点中的附加值
/// </summary>
public HashSet<V> attach = new HashSet<V>(); /// <summary>
/// 左节点
/// </summary>
public TreapNode<K, V> left; /// <summary>
/// 右节点
/// </summary>
public TreapNode<K, V> right; public TreapNode() { } public TreapNode(K key, V value, TreapNode<K, V> left, TreapNode<K, V> right)
{
//KV键值对
this.key = key;
this.priority = new Random(DateTime.Now.Millisecond).Next(,int.MaxValue);
this.attach.Add(value); this.left = left;
this.right = right;
}
}
#endregion public class TreapTree<K, V> where K : IComparable
{
public TreapNode<K, V> node = null; #region 添加操作
/// <summary>
/// 添加操作
/// </summary>
/// <param name="key"></param>
/// <param name="value"></param>
public void Add(K key, V value)
{
node = Add(key, value, node);
}
#endregion #region 添加操作
/// <summary>
/// 添加操作
/// </summary>
/// <param name="key"></param>
/// <param name="value"></param>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public TreapNode<K, V> Add(K key, V value, TreapNode<K, V> tree)
{
if (tree == null)
tree = new TreapNode<K, V>(key, value, null, null); //左子树
if (key.CompareTo(tree.key) < )
{
tree.left = Add(key, value, tree.left); //根据小根堆性质，需要”左左情况旋转”
if (tree.left.priority < tree.priority)
{
tree = RotateLL(tree);
}
} //右子树
if (key.CompareTo(tree.key) > )
{
tree.right = Add(key, value, tree.right); //根据小根堆性质，需要”右右情况旋转”
if (tree.right.priority < tree.priority)
{
tree = RotateRR(tree);
}
} //将value追加到附加值中（也可对应重复元素）
if (key.CompareTo(tree.key) == )
tree.attach.Add(value); return tree;
}
#endregion #region 第一种：左左旋转（单旋转）
/// <summary>
/// 第一种：左左旋转（单旋转）
/// </summary>
/// <param name="node"></param>
/// <returns></returns>
public TreapNode<K, V> RotateLL(TreapNode<K, V> node)
{
//top：需要作为*节点的元素
var top = node.left; //先截断当前节点的左孩子
node.left = top.right; //将当前节点作为temp的右孩子
top.right = node; return top;
}
#endregion #region 第二种：右右旋转（单旋转）
/// <summary>
/// 第二种：右右旋转（单旋转）
/// </summary>
/// <param name="node"></param>
/// <returns></returns>
public TreapNode<K, V> RotateRR(TreapNode<K, V> node)
{
//top：需要作为*节点的元素
var top = node.right; //先截断当前节点的右孩子
node.right = top.left; //将当前节点作为temp的右孩子
top.left = node; return top;
}
#endregion #region 树的指定范围查找
/// <summary>
/// 树的指定范围查找
/// </summary>
/// <param name="min"></param>
/// <param name="max"></param>
/// <returns></returns>
public HashSet<V> SearchRange(K min, K max)
{
HashSet<V> hashSet = new HashSet<V>(); hashSet = SearchRange(min, max, hashSet, node); return hashSet;
}
#endregion #region 树的指定范围查找
/// <summary>
/// 树的指定范围查找
/// </summary>
/// <param name="range1"></param>
/// <param name="range2"></param>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public HashSet<V> SearchRange(K min, K max, HashSet<V> hashSet, TreapNode<K, V> tree)
{
if (tree == null)
return hashSet; //遍历左子树（寻找下界）
if (min.CompareTo(tree.key) < )
SearchRange(min, max, hashSet, tree.left); //当前节点是否在选定范围内
if (min.CompareTo(tree.key) <= && max.CompareTo(tree.key) >= )
{
//等于这种情况
foreach (var item in tree.attach)
hashSet.Add(item);
} //遍历右子树（两种情况：①:找min的下限 ②：必须在Max范围之内）
if (min.CompareTo(tree.key) > || max.CompareTo(tree.key) > )
SearchRange(min, max, hashSet, tree.right); return hashSet;
}
#endregion #region 找到当前树的最小节点
/// <summary>
/// 找到当前树的最小节点
/// </summary>
/// <returns></returns>
public TreapNode<K, V> FindMin()
{
return FindMin(node);
}
#endregion #region 找到当前树的最小节点
/// <summary>
/// 找到当前树的最小节点
/// </summary>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public TreapNode<K, V> FindMin(TreapNode<K, V> tree)
{
if (tree == null)
return null; if (tree.left == null)
return tree; return FindMin(tree.left);
}
#endregion #region 找到当前树的最大节点
/// <summary>
/// 找到当前树的最大节点
/// </summary>
/// <returns></returns>
public TreapNode<K, V> FindMax()
{
return FindMin(node);
}
#endregion #region 找到当前树的最大节点
/// <summary>
/// 找到当前树的最大节点
/// </summary>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public TreapNode<K, V> FindMax(TreapNode<K, V> tree)
{
if (tree == null)
return null; if (tree.right == null)
return tree; return FindMax(tree.right);
}
#endregion #region 删除当前树中的节点
/// <summary>
/// 删除当前树中的节点
/// </summary>
/// <param name="key"></param>
/// <returns></returns>
public void Remove(K key, V value)
{
node = Remove(key, value, node);
}
#endregion #region 删除当前树中的节点
/// <summary>
/// 删除当前树中的节点
/// </summary>
/// <param name="key"></param>
/// <param name="tree"></param>
/// <returns></returns>
public TreapNode<K, V> Remove(K key, V value, TreapNode<K, V> tree)
{
if (tree == null)
return null; //左子树
if (key.CompareTo(tree.key) < )
{
tree.left = Remove(key, value, tree.left);
}
//右子树
if (key.CompareTo(tree.key) > )
{
tree.right = Remove(key, value, tree.right);
}
/*相等的情况*/
if (key.CompareTo(tree.key) == )
{
//判断里面的HashSet是否有多值
if (tree.attach.Count > )
{
//实现惰性删除
tree.attach.Remove(value);
}
else
{
//有两个孩子的情况
if (tree.left != null && tree.right != null)
{
//如果左孩子的优先级低就需要“左旋”
if (tree.left.priority < tree.right.priority)
{
tree = RotateLL(tree);
}
else
{
//否则“右旋”
tree = RotateRR(tree);
} //继续旋转
tree = Remove(key, value, tree);
}
else
{
//如果旋转后已经变成了叶子节点则直接删除
if (tree == null)
return null; //最后就是单支树
tree = tree.left == null ? tree.right : tree.left;
}
}
} return tree;
}
#endregion
}
}