【HNOI2016】大数
题目描述
小 B 有一个很大的数 $ S $，长度达到了 $ N $ 位；这个数可以看成是一个串，它可能有前导 $ 0 $，例如 00009312345 。小 B 还有一个素数 $ P $。
现在，小 B 提出了 $ M $ 个询问，每个询问求 $ S $ 的一个子串中有多少子串是 $ P $ 的倍数（$ 0 $ 也是 $ P $ 的倍数）。例如 $ S $ 为 0077 时，其子串 007 有六个子串：0, 0, 7, 00, 07, 007；显然 0077 的子串 077 的六个子串都是素数 $ 7 $ 的倍数。
输入格式
第一行一个整数：$ P $。
第二行一个串：$ S $。
第三行一个整数：$ M $。
接下来 $ M $ 行，每行两个整数 $ \text{fr}, \text{to}$，表示对 $ S $ 的子串 \(S[\text{fr} \ldots \text {to}]\) 的一次询问。
注意：$ S $ 的最左端的数字的位置序号为 $ 1 $；例如 $ S $ 为 $ 213567 $，则 $ S[1] $ 为 $ 2 \(，\) S[1 \cdots 3] $为 $ 213 $。
输出格式
输出 $ M $ 行，每行一个整数，第 $ i $ 行是第 $ i $ 个询问的答案。
样例
样例输入
11
121121
3
1 6
1 5
1 4
样例输出
5
3
2
样例解释
第一个询问问的是整个串，满足条件的子串分别有：121121、2112、11、121、121。
数据范围与提示
对于所有的数据，$ N,M \leq 100000 \(，\) P $ 为素数。
我们要求的是
\begin{align}
ans&=\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r [\sum_{k=i}^js_k\cdot 10^{j-k} ==0\ mod\ p]\\
&=\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r10^{j}[\sum_{k=i}^js_k\cdot 10^{-k} ==0\ mod\ p]
\end{align}
\]
如果质数\(P\)不等于\(2\)或\(5\)，那么\(10^j\)不可能等于\(0\)，并且\(10^k\)是有逆元的。
我们设\(s_k\cdot 10^{-k}\)的前缀和为\(sum_k\)，则我们要求的就是：
\sum_{i=l}^r\sum_{j=i}^r[sum_j==sum_i]
\]
这就是一个经典的莫队问题。
类似的题还有【CQOI2018】 异或序列。
当\(P\)等于\(2\)或者\(5\)的时候，我们知道只需要判断一个字串的最后一位就可以了，所以很好做。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 200005
using namespace std;
inline ll Get() {ll x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
ll p;
char s[N];
int n,m;
int bel[N];
ll ans[N];
ll sum[N],d[N];
ll cnt[N];
const int blk=450;
struct query {
int l,r;
int id;
bool operator <(const query &a)const {
if(bel[l]!=bel[a.l]) return l<a.l;
return bel[l]&1?r<a.r:r>a.r;
}
}q[N];
ll ksm(ll t,ll x,ll mod) {
ll ans=1;
for(;x;x>>=1,t=t*t%mod)
if(x&1) ans=ans*t%mod;
return ans;
}
ll now=0;
void add(int v) {
now+=cnt[sum[v]];
cnt[sum[v]]++;
}
void del(int v) {
cnt[sum[v]]--;
now-=cnt[sum[v]];
}
ll tot[N],size[N];
int main() {
p=Get();
scanf("%s",s+1);
n=strlen(s+1);
m=Get();
for(int i=1;i<=m;i++) {
q[i].l=Get()-1,q[i].r=Get();
q[i].id=i;
}
if(p!=2&&p!=5) {
for(int i=0;i<=n;i++) bel[i]=i/blk+1;
sort(q+1,q+1+m);
d[++d[0]]=0;
ll inv10=ksm(10,p-2,p),t=inv10;
for(int i=1;i<=n;i++) {
sum[i]=(sum[i-1]+(s[i]-'0')*t)%p;
t=t*inv10%p;
d[++d[0]]=sum[i];
}
sort(d+1,d+1+d[0]);
int cc=unique(d+1,d+1+d[0])-d-1;
for(int i=0;i<=n;i++) sum[i]=lower_bound(d+1,d+1+cc,sum[i])-d;
int l=0,r=-1;
for(int i=1;i<=m;i++) {
while(r<q[i].r) add(++r);
while(l>q[i].l) add(--l);
while(r>q[i].r) del(r--);
while(l<q[i].l) del(l++);
ans[q[i].id]=now;
}
for(int i=1;i<=m;i++) cout<<ans[i]<<"\n";
} else {
if(p==2) {
for(int i=1;i<=n;i++) {
tot[i]=tot[i-1];
size[i]=size[i-1];
if((s[i]-'0')%2==0) {
tot[i]+=i;
size[i]++;
}
}
} else {
for(int i=1;i<=n;i++) {
tot[i]=tot[i-1];
size[i]=size[i-1];
if((s[i]-'0')%5==0) {
tot[i]+=i;
size[i]++;
}
}
}
for(int i=1;i<=m;i++) {
cout<<(tot[q[i].r]-tot[q[i].l])-(size[q[i].r]-size[q[i].l])*q[i].l<<"\n";
}
}
return 0;
}