非旋 treap 结构体数组版(无指针)详解,有图有真相

时间:2022-07-22 19:40:34

非旋  $treap$ (FHQ treap)的简单入门

前置技能

建议在掌握普通 treap 以及 左偏堆(也就是可并堆)食用本blog

原理

以随机数维护平衡,使树高期望为logn级别, FHQ 不依靠旋转,只有两个核心操作merge(合并)和split(拆分)

所谓随机数维护平衡就是给每个节点一个随机值 key (下文中没有加随机的就代表是真实权值),

然后整棵树中 key 值要满足小(大)根堆的性质(也就是heap),

同时也要满足平衡树(tree)的性质(也就是每个节点左子树内节点真实权值小于它,右子树相反)

然后这个玩意儿就有了一个草率的名字:treap (tree 和 heap 的结合体)

结构体变量介绍

 int Rand() {  //伪随机函数,能让代码稍微变快
static int seed=;
return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>));
}
struct Node {
int val,key,siz,ch[];
// val 真实权值,key 随机权值,siz 子树大小 , ch 左右子节点
void clear() { //清空操作
ch[]=ch[]=siz=val=key=;
}
} t[M];
int update(int now){ //更新操作
t[now].siz=t[t[now].ch[]].siz+t[t[now].ch[]].siz+;
}

veiw code

核心操作

merge操作

模型实现

假设有两颗子树x,y,且 x 的所有节点的值都小于 y 的所有节点的值,随机权值 key 都以小根堆的形式存储。

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此时要合并 x , y 。我们先比较它们的根的随机权值,发现1<3,因为要满足小根堆性质,于是 x 的左子树全部不变,让它的右子树继续和 y 合并。非旋 treap 结构体数组版(无指针)详解,有图有真相

这时我们发现,随机权值 key 5>3,所以 y 接到 rot 的下方,成为 rot 的右儿子,y的右子树全部不变,让y的左子树继续和x合并(以满足平衡树的性质)。非旋 treap 结构体数组版(无指针)详解,有图有真相

由于5>4,所以y和y的右子树作为rot的左儿子,y的左子树继续和x合并。非旋 treap 结构体数组版(无指针)详解,有图有真相

5<7,所以接入x和它的左子树作为rot的左儿子。

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至此,我们发现 x 为 0 ,所以直接返回 y ,合并结束。

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代码实现

 int merge(int u,int v) { // 此时 u 中节点权值均小于 v 中节点权值
if(!u || !v) return u|v; //某节点为空,直接返回另一节点
if(t[u].key<t[v].key) { //以此满足 heap 性质
t[u].ch[]=merge(t[u].ch[],v); // u 右子节点与 v 合并, 以满足平衡树性质
update(u); return u;
} else {
t[v].ch[]=merge(u,t[v].ch[]); // u 与 v 左子节点合并, 以满足平衡树性质
update(v); return v;
}
}

view code

split操作

split有两种拆分方式:

  1. 按权值大小拆分

  2. 按排名大小拆分。

模型实现

1.按权值split

首先得有个基准值 a ,即权值小于等于 a 的节点全部进入左树(下图中会将此类节点染红),大于a的节点全部进入右树(下图中会将此类节点染蓝)。这里以a=25为例。

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首先,发现rot的权值=15<25,由平衡树的性质可知,rot的左子树所有节点权值一定小于25,所以rot和它的的左子树全部进入左树,继续拆分rot的右子树。非旋 treap 结构体数组版(无指针)详解,有图有真相

32>25,所以 rot 和它的右子树全部进入右树,继续拆分 rot 的左子树。

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29>25,同上。

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24<25,所以拆分右子树。

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27>25,所以拆分左子树。

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发现此时rot为0,所以拆分完毕,返回。

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2.按排名split

就是把前 k 个节点拆入左树,其它节点拆入右树。这里以k=5为例。

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rot的左子树的siz+1=3<5,所以rot和它的左子树进入左树,其他节点拆分5-3=2个节点进入左树。

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4+1>2,所以rot和右子树进入右树,其它节点继续拆分出2个节点进入左树。

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3+1>2,同上。

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1+1=2,所以rot和左子树进入左树,其它节点继续拆分2-2=0个节点进入左树。

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1+0>0,所以rot和右子树进入右树,其它节点继续拆分0个节点进入左树。

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rot为0,拆分结束。

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代码实现

1.按权值split

 void split_val(int now,int k,int& x,int& y) {
if(!now) return (void)(x=y=); //节点为空, return
if(t[now].val<=k) //当前节点和它的左子树都满足进入左树的条件
x=now,split_val(t[now].ch[],k,t[now].ch[],y);
else //当前节点和它的右子树都满足进入右树的条件
y=now,split_val(t[now].ch[],k,x,t[now].ch[]);
update(now);
}

view code

2.按排名split

 void split_k(int now,int k,int& x,int& y) { //与按权值 split 类似
if(!now) return (void)(x=y=);
update(now);
if(t[t[now].ch[]].siz<k)
x=now,split_k(t[now].ch[],k-t[t[now].ch[]].siz-,t[now].ch[],y);
else
y=now,split_k(t[now].ch[],k,x,t[now].ch[]);
update(now);
}

view code

其他操作

FHQ treap 的核心操作只有 merge 和 split 两个,其他操作都是基于这两个操作实现的。

插入

插入权值为 x 的节点时,先新建一个节点,再以 x 为界按权值 split 整棵树为a,b,再按顺序 merge a,x,b。

代码实现

 void ins(int x) {
int u,a,b;
t[u=++cnt].key=Rand();
t[u].val=x,t[u].siz=;
split_val(root,x,a,b);
root=merge(merge(a,u),b);
}

view code

删除

要删除x,先将整棵树以 x-1 为界按权值split 成a和b,再将 b 以 1 为界 按排名split 成c和d,则 c 就是要删除的节点。最后按顺序merge a,b,d。

(当然,这是在要删除节点必定存在的情况下才能进行的操作,不存在的情况请自行脑补) 

代码实现

 void del(int x) {
int a,b,c,d;
split_val(root,x-,a,b);
split_k(b,,c,d);
t[c].clear(),root=merge(a,d);
}

view code

查询 x 的排名

先将整棵树以x-1按权值split成a和b,则a的siz+1即为x的排名。

代码实现

 int get_rank(int x) {
int a,b,c;
split_val(root,x-,a,b);
c=t[a].siz+;
root=merge(a,b);
return c;
}

view code

查询排名为 k 的值

先split出整棵树前k-1小节点,则右树最小节点即为所求节点,再次split 即可。

代码实现

 int get_val(int& now,int x) {
int a,b,c,d,e;
split_k(now,x-,a,b);
split_k(b,,c,d);
e=t[c].val;
now=merge(a,merge(c,d));
return e;
}

view code

查x前驱

将整棵树以x-1按权值split,左树中最大节点即为所求节点,转入第x小值问题。

代码实现

 int pre(int x) {
int a,b,c;
split_val(root,x-,a,b);
c=get_val(a,t[a].siz);
root=merge(a,b);
return c;
}

view code

查x后继

将整棵树以x按权值split,右树中最小节点即为所求节点,转入第x小值问题。

代码实现

 int sub(int x) {
int a,b,c;
split_val(root,x,a,b);
c=get_val(b,);
root=merge(a,b);
return c;
}

view code

非旋 Treap的其他作用

非旋 trap 是支持区间操作的,具体其实就是你把原来的一棵树 split 成 3 棵树($1~l-1,l~r,r+1~n$),然后 我们对中间那棵树进行操作即可,具体代码不附上了

例题

洛谷P3369【模板】普通平衡树

代码

 //by Judge
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int M=1e5+;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
#define num ch-'0'
char ch;bool flag=;int res;
while(!isdigit(ch=getc()))
(ch=='-')&&(flag=true);
for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
(flag)&&(res=-res);
#undef num
return res;
}
char sr[<<],z[];int C=-,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}
inline void print(int x){
if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]=,x=-x;
while(z[++Z]=x%+,x/=);
while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
int n,cnt,root;
int Rand() {
static int seed=;
return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>));
}
struct Node {
int val,key,siz,ch[];
void clear() {
ch[]=ch[]=siz=val=key=;
}
} t[M];
int update(int now){
t[now].siz=t[t[now].ch[]].siz+t[t[now].ch[]].siz+;
}
int merge(int u,int v) {
if(!u || !v) return u|v;
if(t[u].key<t[v].key) {
t[u].ch[]=merge(t[u].ch[],v);
update(u); return u;
} else {
t[v].ch[]=merge(u,t[v].ch[]);
update(v); return v;
}
}
void split_val(int now,int k,int& x,int& y) {
if(!now) return (void)(x=y=);
if(t[now].val<=k)
x=now,split_val(t[now].ch[],k,t[now].ch[],y);
else
y=now,split_val(t[now].ch[],k,x,t[now].ch[]);
update(now);
}
void split_k(int now,int k,int& x,int& y) {
if(!now) return (void)(x=y=);
update(now);
if(t[t[now].ch[]].siz<k)
x=now,split_k(t[now].ch[],k-t[t[now].ch[]].siz-,t[now].ch[],y);
else
y=now,split_k(t[now].ch[],k,x,t[now].ch[]);
update(now);
}
void ins(int x) {
int u,a,b;
t[u=++cnt].key=Rand();
t[u].val=x,t[u].siz=;
split_val(root,x,a,b);
root=merge(merge(a,u),b);
}
void del(int x) {
int a,b,c,d;
split_val(root,x-,a,b);
split_k(b,,c,d);
t[c].clear(),root=merge(a,d);
}
int get_rank(int x) {
int a,b,c;
split_val(root,x-,a,b);
c=t[a].siz+;
root=merge(a,b);
return c;
}
int get_val(int& now,int x) {
int a,b,c,d,e;
split_k(now,x-,a,b);
split_k(b,,c,d);
e=t[c].val;
now=merge(a,merge(c,d));
return e;
}
int pre(int x) {
int a,b,c;
split_val(root,x-,a,b);
c=get_val(a,t[a].siz);
root=merge(a,b);
return c;
}
int sub(int x) {
int a,b,c;
split_val(root,x,a,b);
c=get_val(b,);
root=merge(a,b);
return c;
}
int main() {
n=read(); int opt,x;
while(n--){
opt=read(),x=read();
switch(opt){
case : ins(x); break;
case : del(x); break;
case : print(get_rank(x)); break;
case : print(get_val(root,x)); break;
case : print(pre(x)); break;
case : print(sub(x)); break;
}
} Ot(); return ;
}

view code

然后这是压过行了的:

 //by Judge
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
const int M=1e5+;
#define getc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
#define num ch-'0'
char ch;bool flag=;int res;
while(!isdigit(ch=getc()))
(ch=='-')&&(flag=true);
for(res=num;isdigit(ch=getc());res=res*+num);
(flag)&&(res=-res);
#undef num
return res;
}
char sr[<<],z[];int C=-,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}
inline void print(int x){
if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]=,x=-x;
while(z[++Z]=x%+,x/=);
while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
int n,cnt,root;
struct Node {
int val,key,siz,ch[];
void clear() { ch[]=ch[]=siz=val=key=; }
} t[M];
int Rand() { static int seed=; return seed=int(seed*48271LL%(~0u>>)); }
int update(int now){ t[now].siz=t[t[now].ch[]].siz+t[t[now].ch[]].siz+; }
int merge(int u,int v) {
if(!u || !v) return u|v;
if(t[u].key<t[v].key) { t[u].ch[]=merge(t[u].ch[],v),update(u); return u; }
else { t[v].ch[]=merge(u,t[v].ch[]),update(v); return v; }
}
void split_val(int now,int k,int& x,int& y) {
if(!now) return (void)(x=y=);
if(t[now].val<=k) split_val(t[x=now].ch[],k,t[now].ch[],y);
else split_val(t[y=now].ch[],k,x,t[now].ch[]);
update(now);
}
void split_k(int now,int k,int& x,int& y) {
if(!now) return (void)(x=y=);
if(t[t[now].ch[]].siz>=k) split_k(t[y=now].ch[],k,x,t[now].ch[]);
else split_k(t[x=now].ch[],k-t[t[now].ch[]].siz-,t[now].ch[],y);
update(now);
}
void ins(int x) { int u,a,b; t[u=++cnt].key=Rand(),t[u].val=x,t[u].siz=,split_val(root,x,a,b),root=merge(merge(a,u),b); }
void del(int x) { int a,b,c,d; split_val(root,x-,a,b),split_k(b,,c,d),t[c].clear(),root=merge(a,d); }
int get_rank(int x) { int a,b,c; split_val(root,x-,a,b),c=t[a].siz+,root=merge(a,b); return c; }
int get_val(int& now,int x) { int a,b,c,d,e; split_k(now,x-,a,b),split_k(b,,c,d),e=t[c].val,now=merge(a,merge(c,d)); return e; }
int pre(int x) { int a,b,c; split_val(root,x-,a,b),c=get_val(a,t[a].siz),root=merge(a,b); return c; }
int sub(int x) { int a,b,c; split_val(root,x,a,b),c=get_val(b,),root=merge(a,b); return c; }
int main() {
n=read(); int opt,x;
while(n--){
opt=read(),x=read();
switch(opt){
case : ins(x); break;
case : del(x); break;
case : print(get_rank(x)); break;
case : print(get_val(root,x)); break;
case : print(pre(x)); break;
case : print(sub(x)); break;
}
} Ot(); return ;
}

view code

推荐题目

题目

洛谷 ——  列队

分析

首先我们分析一下这个列队的性质;

首先每次操作时,先让一个人 (a,b) 出队  。

然后右边的人跟上来,空缺的位置变成了 (a,m)   (也就是在一棵平衡树中删除了一个节点)

非旋 treap 结构体数组版(无指针)详解,有图有真相

最后其实也就是最后一列的跟到上面,空缺的位置变成 (n,m) ,然后出队的人到这个位置上

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于是非常显然的,题目就是要你维护 n 棵平衡树,

但是看看数据范围:3e5  ...  于是发现这题不可做

那么我萌就要用到一个巧妙的思路—— 缩点与拆点  了。

什么意思? 你再看眼数据范围:3e5  ...  没毛病?

对啊,询问也是  3e5  啊...  所以说我们是不是维护了许多用都用不到的点呢?

于是我们把一大段区间的没用的点缩成一个点,让这个点记录区间左右信息就好了咯。

emmm...你说的没错,我们怎么知道哪些点该缩哪些点不该缩呢?

简单,我们点全都缩起来,要用的时候再拆出来不就好了?

然后还要注意的就是最后一列的特殊性,要单独维护(也就 3e5 个点嘛,开得下),

这点从图中应该也看得出来(何况这些点并不属于一个区间!)

于是愉快地上代码...

代码

 //by Judge
#include<iostream>
#include<cstdio>
#define ll long long
#define int long long
using namespace std;
const int M=3e5+;
#define getchar() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,1<<21,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++) // 手动输入需要去掉这句话
char buf[<<],*p1=buf,*p2=buf;
inline int read(){
int x=,f=; char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c=='-') f=-;
for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*+c-''; return x*f;
}
char sr[<<],z[];int C=-,Z;
inline void Ot(){fwrite(sr,,C+,stdout),C=-;}
inline void print(int x){
if(C><<)Ot();if(x<)sr[++C]=,x=-x;
while(z[++Z]=x%+,x/=);
while(sr[++C]=z[Z],--Z);sr[++C]='\n';
}
ll n,m,q,cnt,root,rt[M];
struct Node { int key,ch[]; ll l,r,siz; } t[M<<];
inline int Rand() { static int seed=; return seed=(ll)(seed*48271LL%(~0u>>)); }
inline int update(int now){ t[now].siz=t[t[now].ch[]].siz+t[t[now].ch[]].siz+t[now].r-t[now].l+; }
inline int newnode(ll x,ll y) { int u=++cnt; t[u].l=x,t[u].r=y,t[u].siz=y-x+,t[u].key=Rand(); return u; }
int merge(int u,int v) {
if(!u || !v) return u|v;
if(t[u].key<t[v].key) { t[u].ch[]=merge(t[u].ch[],v),update(u); return u; }
else { t[v].ch[]=merge(u,t[v].ch[]),update(v); return v; }
}
void split_new(ll now,ll k){ //把一个节点拆成两个节点
if(k>=t[now].r-t[now].l+) return ; int nw=newnode(t[now].l+k,t[now].r);
t[now].r=t[now].l+k-,t[now].ch[]=merge(nw,t[now].ch[]),update(now);
}
void split(int now,int k,int& x,int& y) { //常规操作
if(!now) return (void)(x=y=);
if(t[t[now].ch[]].siz>=k) split(t[y=now].ch[],k,x,t[now].ch[]);
else{
split_new(now,k-t[t[now].ch[]].siz),k-=t[t[now].ch[]].siz,
split(t[x=now].ch[],k-(t[now].r-t[now].l+),t[now].ch[],y);
} update(now);
}
signed main(){
n=read(),m=read(),q=read();
for(ll i=;i<=n;++i)
rt[i]=newnode((i-)*m+,i*m-);
for(ll i=;i<=n;++i)
rt[n+]=merge(rt[n+],newnode(i*m,i*m));
while(q--){
ll a=read(),b=read(),x,y,z;
if(b^m){
ll xx,yy,zz; split(rt[a],b,x,y),
split(x,b-,x,z),print(t[z].l),
split(rt[n+],a,xx,yy),split(xx,a-,xx,zz);
rt[a]=merge(merge(x,y),zz),rt[n+]=merge(merge(xx,yy),z); //拆完合并
}
else{
split(rt[n+],a,x,y),split(x,a-,x,z);
print(t[z].l),rt[n+]=merge(merge(x,y),z);
}
} Ot(); return ;
}

最后感谢 axjcy 大佬的 blog