X问题

Problem Description

求在小于等于N的正整数中有多少个X满足：X mod a[0] = b[0], X mod a[1] = b[1], X mod a[2] = b[2], …, X mod a[i] = b[i], … (0 < a[i] <= 10)。

Input

输入数据的第一行为一个正整数T，表示有T组测试数据。每组测试数据的第一行为两个正整数N，M (0 < N <= 1000,000,000 , 0 < M <= 10)，表示X小于等于N，数组a和b中各有M个元素。接下来两行，每行各有M个正整数，分别为a和b中的元素。

Output

对应每一组输入，在独立一行中输出一个正整数，表示满足条件的X的个数。

Sample Input

10 3

1 2 3

0 1 2

100 7

3 4 5 6 7 8 9

1 2 3 4 5 6 7

10000 10

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Sample Output

解题分析：

看到题目的描述很容易想到中国剩余定理。利用模板求出最小解，如果最小解大于n或者无最小解（此模板返回-1），则无解否则输出(n-ans)/dg+1(dg为a[i]的最小公倍数，ans为最小解)（根据ans+num*dg<=n推出的），所有满足dg*i+ans的都符合要求，ans为最小的满足的数。需要注意的是，由于题目没有说除数是互质的，所以不能用普通的中国剩余定理的模板。

#include<stdio.h>

using namespace std;

#define  ll long long

ll  A[],B[];//B[i]为余数

ll dg,ans;//dg为A[i]的最小公倍数    ans 为最小解

void exgcd(ll a, ll b, ll &d, ll&x, ll &y)

{

    if (!b) {d=a; x=; y=;}

    else

    {

        exgcd(b, a%b, d, y, x);

        y-=x*(a/b);

    }

}

ll gcd(ll a, ll b)

{

    if (!b) return a;

    else gcd(b, a%b);

}

ll china(ll n)

{

    ll a,b,d,x,y,dm;

    ll c,c1,c2;

    a=A[]; c1=B[];

    for (int i=; i<n; i++)

    {

        b=A[i]; c2=B[i];

        exgcd(a, b, d, x, y);

        dm=b/d;

        c=c2-c1;

        if (c%d) return -;

        x=((x*c/d)%dm+dm)%dm;//x可能为负

        c1=a*x+c1;

        a=a*b/d;

    }

    //求最小公倍数

    dg=a;//dg是最大公约数

    if (!c1)//考虑c1为0的情况

    {

        c1=;

        for (int i=; i<n; i++)

        {

            c1=c1*A[i]/gcd(c1, A[i]);

        }

        dg=c1;//此时dg为最小公倍数

    }

    return c1;//c1为最小的X

}

int main(){

    int t;

    scanf("%d",&t);

    while(t--){

        int n,m;

        scanf("%d%d",&n,&m);

        for(int i=;i<m;i++)

        scanf("%lld",&A[i]);

        for(int i=;i<m;i++)

        scanf("%lld",&B[i]);

        ans=china(m);     //利用模板找到满足条件的最小值

        if(ans==-||ans>n)

        printf("0\n");

        else printf("%d\n",(n-ans)/dg+);

    }

    return ;

}

2018-07-31

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hdu1573 X问题【中国剩余定理】

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