![【次小生成树】bzoj1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree](https://image.shishitao.com:8440/aHR0cHM6Ly9ia3FzaW1nLmlrYWZhbi5jb20vdXBsb2FkL2NoYXRncHQtcy5wbmc%2FIQ%3D%3D.png?!?w=700&webp=1 "【次小生成树】bzoj1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree")
Description
小 C 最近学了很多最小生成树的算法，Prim 算法、Kurskal 算法、消圈算法等等。 正当小 C 洋洋得意之时，小 P 又来泼小 C 冷水了。小 P 说，让小 C 求出一个无向图的次小生成树，而且这个次小生成树还得是严格次小的，也就是说： 如果最小生成树选择的边集是 EM，严格次小生成树选择的边集是 ES，那么需要满足：(value(e) 表示边 e的权值) ![【次小生成树】bzoj1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree](https://image.shishitao.com:8440/aHR0cDovL3d3dy5seWRzeS5jb20vSnVkZ2VPbmxpbmUvaW1hZ2VzLzE5NzcuanBn.jpg?w=700&webp=1 "【次小生成树】bzoj1977 [BeiJing2010组队]次小生成树 Tree")
这下小 C 蒙了，他找到了你，希望你帮他解决这个问题。
Input
第一行包含两个整数N 和M，表示无向图的点数与边数。 接下来 M行，每行 3个数x y z 表示，点 x 和点y之间有一条边，边的权值为z。
Output
包含一行，仅一个数，表示严格次小生成树的边权和。(数据保证必定存在严格次小生成树)
Sample Input
5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6
1 2 1
1 3 2
2 4 3
3 5 4
3 4 3
4 5 6
Sample Output
11
HINT
数据中无向图无自环； 50% 的数据N≤2 000 M≤3 000； 80% 的数据N≤50 000 M≤100 000； 100% 的数据N≤100 000 M≤300 000 ，边权值非负且不超过 10^9 。
题解
就是求严格次小生成树
目前常见做法是先用Kurskal求出最小生成树
然后枚举不在树上的边，试着把它连到树上，找到形成的环上边权最大但不等于新加的边权的一条边，计算出（最小生成树权值+新加边边权-找到的最大）
对每条不在最小生成树上的边计算过之后再取min就是结果
而要求形成的环上边权最大但不等于新加的边权的一条边，我们就可以用树剖维护一个最大值和次大值，然后就可以轻松（mlog2n）得出答案了
我才不会说我边权转化成点权的时候没按dfn序结果调了一整天也没发现呢，哼
代码
//by 减维
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define ls l,mid,v<<1
#define rs mid+1,r,v<<1|1
#define getm mid=(l+r)>>1
using namespace std; struct us{
int x,y;
ll v;
}edg[]; struct edge{
int to,ne;
ll v;
}e[]; int n,m,num,ecnt,fa[],dep[],siz[],son[],val[];
int f[],dfn[],out[],head[],top[];
long long ans1,ans2,ans,ma[],ma2[];
bool pd[];
ll inf=1ll<<; bool cmp(const us&x,const us&y){return x.v<y.v;}
bool cm2(int x,int y){return x>y;} int find(int x)
{
if(x==fa[x])return x;
fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
} void add(int x,int y,int z)
{
e[++ecnt].to=y;
e[ecnt].ne=head[x];
e[ecnt].v=z;
head[x]=ecnt;
} void df1(int x)
{
dep[x]=dep[f[x]]+;
siz[x]=;
for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
{
int dd=e[i].to;
if(dd==f[x])continue;
f[dd]=x;
df1(dd);
siz[x]+=siz[dd];
if(!son[x]||siz[son[x]]<siz[dd])
son[x]=dd;
}
} void dfs(int x,int tp)
{
top[x]=tp;
dfn[x]=++num;
if(son[x])dfs(son[x],tp);
for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
{
int dd=e[i].to;
if(dd==f[x])continue;
if(dd==son[x]){
val[dfn[dd]]=e[i].v;
continue;
}
dfs(dd,dd);
val[dfn[dd]]=e[i].v;
}
out[x]=num;
} void upda(int v)
{
int x[];
x[]=ma[v<<],x[]=ma[v<<|],x[]=ma2[v<<],x[]=ma2[v<<|];
sort(x+,x+,cm2);
ma[v]=x[];
ma2[v]=x[];
} void print(int l,int r,int v)
{
if(l==r){
printf("%d %d\n",ma[v],ma2[v]);
return ;
}
int mid;getm;
print(ls);
print(rs);
} void build(int l,int r,int v)
{
if(l==r){
ma[v]=val[l];
ma2[v]=-inf;
return ;
}
int mid;getm;
build(ls);
build(rs);
upda(v);
} ll ask(int l,int r,int v,int x,int y,int z)
{
if(r<x||y<l)return -inf;
if(x<=l&&r<=y){
if(ma[v]!=z)return ma[v];
return ma2[v];
}
int mid;getm;
return max(ask(ls,x,y,z),ask(rs,x,y,z));
} int main()
{
scanf("%d%d",&n,&m);
for(int i=;i<=m;++i)
scanf("%d%d%lld",&edg[i].x,&edg[i].y,&edg[i].v);
sort(edg+,edg+m+,cmp);
for(int i=;i<=n;++i)fa[i]=i;
int cntt=;
for(int i=;i<=m;++i)
{
int x=edg[i].x,y=edg[i].y;
int fx=find(x),fy=find(y);
if(fx!=fy){
cntt++;
pd[i]=;
fa[fx]=fa[fy];
ans1+=edg[i].v;
add(x,y,edg[i].v);
add(y,x,edg[i].v);
}
if(cntt==n-)break;
}
df1();
dfs(,);
build(,num,);
ans2=inf;
for(int i=;i<=m;++i)
if(!pd[i]){
int x=edg[i].x,y=edg[i].y;
ll tmp=-inf;
while(top[x]!=top[y])
{
if(dep[top[x]]>dep[top[y]]){
tmp=max(tmp,ask(,num,,dfn[top[x]],dfn[x],edg[i].v));
x=f[top[x]];
}else {
tmp=max(tmp,ask(,num,,dfn[top[y]],dfn[y],edg[i].v));
y=f[top[y]];
}
}
int lca=dep[x]<dep[y]?x:y,deper=dep[x]>dep[y]?x:y;
if(x!=y)tmp=max(tmp,ask(,num,,dfn[son[lca]],dfn[deper],edg[i].v));
ans2=min(ans2,ans1-tmp+edg[i].v);
}
printf("%lld",ans2);
}
还有一种类型题，本质上还是求次小生成树
【题目背景】
HJZ 买了一套新房子，他正在为新房子的装修发愁。
【题目描述】
土豪 HJZ 的新房子需要铺设水管网。 水管网一共有 n 个点，其中 1 号点是进水口，其余 n − 1 个点是出水口。
房子预留 了 m 根水管的空间，每根水管可以连接两个点，但要花费一定的代价。
现在 HJZ 想知道让所有出水口都直接或间接与进水口联通的最小代价。
由于装修 过程中可能会出现一些玄学事件，他还想知道代价最小的连接方案是否唯一。保证存在 一种连接方案。
【输入格式】
从文件 pipe.in 中读入数据。
第一行一个正整数 T 表示测试数据组数。
对于每一组测试数据：
• 第一行两个整数 n, m 分别表示水管网的点数和预留的管道数。
• 接下来 m 行，每行三个正整数 a, b, c 表示一条连接 a, b 的双向管道需要 c 的 代价。
【输出格式】 输出到文件 pipe.out 中。 对于每一组测试数据，分别输出两行。
第一行一个整数表示最小代价。 第二行一个字符串 Yes 或 No 表示连接方案是否唯一。
这道题当时考试的时候一时脑抽。。。就写出来了一个二分。。。留在这里当做纪念吧。。。
//by 减维
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<queue>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<cmath>
#include<map>
#include<bitset>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std; struct lin{
int fr,to,v;
}ed[]; struct edge{
int to,ne,v;
}e[]; struct node{
int v,pos;
}a[]; ll ans;
int t,n,m,num,tot,ecnt,head[],f[],fa[],lx[],rx[],son[],siz[],top[],dfn[],dep[];
bool fla,pd[]; bool cmp(const lin&x,const lin&y){return x.v<y.v;}
bool cm2(const node&x,const node&y){
if(x.v==y.v)return x.pos<y.pos;
return x.v<y.v;
} void init()
{
ecnt=num=tot=;
ans=;
fla=;
memset(f,,sizeof(f));
memset(pd,,sizeof(pd));
memset(lx,,sizeof(lx));
memset(rx,,sizeof(rx));
memset(dep,,sizeof(dep));
memset(son,,sizeof(son));
memset(siz,,sizeof(siz));
memset(dfn,,sizeof(dfn));
memset(top,,sizeof(top));
memset(head,,sizeof(head));
} void add(int x,int y,int z)
{
e[++ecnt].to=y;
e[ecnt].ne=head[x];
e[ecnt].v=z;
head[x]=ecnt;
} int find(int x)
{
if(x==fa[x])return x;
fa[x]=find(fa[x]);
return fa[x];
} void df1(int x)
{
siz[x]=;
dep[x]=dep[f[x]]+;
for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
{
int dd=e[i].to;
if(dd==f[x])continue ;
f[dd]=x;
df1(dd);
siz[x]+=siz[dd];
if(!son[x]||siz[son[x]]<siz[dd])
son[x]=dd;
}
} void dfs(int x,int tp)
{
top[x]=tp;
dfn[x]=++num;
if(son[x])dfs(son[x],tp);
for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
{
int dd=e[i].to;
if(dd==f[x]||dd==son[x])continue;
dfs(dd,dd);
}
} void df2(int x,int v)
{
a[++tot].v=v;
a[tot].pos=dfn[x];
for(int i=head[x];i;i=e[i].ne)
{
int dd=e[i].to;
if(dd==f[x])continue;
df2(dd,e[i].v);
}
} bool check(int x,int y,int v)
{
int l=lx[v],r=rx[v];
int mid;
while(l<=r){
mid=(l+r)>>;
if(a[mid].pos<=y&&a[mid].pos>=x)return ;
else if(a[mid].pos>y)r=mid-;
else l=mid+;
}
return ;
} int main()
{
freopen("pipe.in","r",stdin);
freopen("pipe.out","w",stdout);
scanf("%d",&t);
while(t--)
{
scanf("%d%d",&n,&m);
init();
for(int i=;i<=m;++i)scanf("%d%d%d",&ed[i].fr,&ed[i].to,&ed[i].v);
sort(ed+,ed+m+,cmp);
for(int i=;i<=n;++i)fa[i]=i;
int cnt=;
for(int i=,x,y,fx,fy;i<=m;++i)
{
x=ed[i].fr,y=ed[i].to;
fx=find(x),fy=find(y);
if(fx!=fy){
fa[fx]=fy;
cnt++;
ans+=(ll)ed[i].v;
add(x,y,ed[i].v);
add(y,x,ed[i].v);
pd[i]=;
}
if(cnt==n-)break;
}
printf("%lld\n",ans);
df1();
dfs(,);
df2(,);
sort(a+,a+tot+,cm2);
lx[a[].v]=;
for(int i=;i<=tot;++i)
if(a[i].v!=a[i-].v)lx[a[i].v]=i,rx[a[i-].v]=i-;
rx[a[tot].v]=tot;
for(int i=,x,y,lca,v,deper;i<=m;++i)
if(!pd[i])
{
x=ed[i].fr,y=ed[i].to,v=ed[i].v;
while(top[x]!=top[y]){
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])swap(x,y);
if(check(dfn[top[x]],dfn[x],v)){
fla=;
break;
}
x=f[top[x]];
}
if(x!=y){
lca=dep[x]<dep[y]?x:y;
deper=lca==x?y:x;
if(check(dfn[son[lca]],dfn[deper],v))fla=;
}
if(fla)break;
}
if(fla)printf("No\n");
else printf("Yes\n");
}
return ;
}