字符串-回文-Manacher算法

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https://segmentfault.com/a/1190000008484167

求最长回文长度的一个算法 O(n)

首先解决要判断奇字符偶字符的问题 在每一个字符前加一个不可能在字符串中出现的字符 再在字符串的末尾加一个

abcde -> $#a#b#c#d#e#  $是为了防止越界

$p[i]$表示$i$能向两边推（包括$i$）的最大距离，如果能求出$p$，则答案就是$max(p)-1$了

我们假设$p[1,i-1]$已经求好了，现在要求$p[i]$： 
假设当前能达到的最右边为$R$，对应的中点为$pos$，$j$是$i$的对称点。 
1.当$i＜R$时 
 
由于$L~R$是回文，所以$p[i]=p[j]$（$i$的最长回文和$j$的最长回文相同）。 
 
这种情况是另一种：$j$的最长回文跳出$L$了。那么$i$的最长回文就不一定是$j$的最长回文了，但蓝色的肯定还是满足的。

综上所述，$p[i]=min(p[2*pos-i],R-i)$。 
2.当$i>=R$时 
由于后面是未知的，于是只能暴力处理了。

 定义 $mx$ 为以$s-new[id]$为中心的最长回文最右边界，也就是$mx = id + p[id]$。$j$  与 $i$ 关于 $id$ 对称，根据回文的性质，$p[i]$的值基于以下三种情况得出：

  （1）$j$ 的回文串有一部分在 $id$ 的之外，如下图：

上图中，黑线为$ id $的回文，$i$ 与 $j$ 关于 $id$ 对称，红线为 $j$ 的回文。那么根据代码此时p[i]=mx-i，即紫线。那么p[i]还可以更大么？答案是不可能！

假设右边新增的紫色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 d ，也就是说 id 的回文不仅仅是黑线，而是黑线+两条紫线，矛盾，所以假设不成立，故p[i]=mx-i，不可以再增加一分。
  （2）j 回文串全部在 id 的内部，如下图：

此时p[i]=p[j]，那么p[i]还可以更大么？答案亦是不可能！见下图：

假设右边新增的红色部分是p[i]可以增加的部分，那么根据回文的性质，a 等于 b ，，也就是说 j 的回文应该再加上 a 和 b ，矛盾，所以假设不成立，故p[i]=p[j]，也不可以再增加一分。
  （3）j 回文串左端正好与 id 的回文串左端重合，见下图：

此时p[i]=p[j]或p[i]=mx-i，并且p[i]还可以继续增加，所以需要

while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])
    p[i]++;

int Init()
{
    int len = strlen(s);
    s_new[0] = '$';
    s_new[1] = '#';
    int j = 2;

    for (int i = 0; i < len; i++)
    {
        s_new[j++] = s[i];
        s_new[j++] = '#';
    }

    s_new[j] = '\0';  //别忘了哦  

    return j;  //返回s_new的长度
}

int Manacher()
{
    int len = Init();  //取得新字符串长度并完成向s_new的转换
    int maxLen = -1;   //最长回文长度  

    int id;
    int mx = 0;

    for (int i = 1; i < len; i++)
    {
        if (i < mx)
            p[i] = min(p[2 * id - i], mx - i);  //需搞清楚上面那张图含义, mx和2*id-i的含义
        else
            p[i] = 1;

        while (s_new[i - p[i]] == s_new[i + p[i]])  //不需边界判断，因为左有'$',右有'\0'
            p[i]++;

        if (mx < i + p[i])  //我们每走一步i，都要和mx比较，我们希望mx尽可能的远，这样才能更有机会执行if (i < mx)这句代码，从而提高效率
        {
            id = i;
            mx = i + p[i];
        }

        maxLen = max(maxLen, p[i] - 1);
    }

    return maxLen;
}