【BZOJ4916】神犇和蒟蒻（杜教筛）
题面
BZOJ
求
\[\sum_{i=1}^n\mu(i^2)\ \ 和\ \sum_{i=1}^n\varphi(i^2)
\]
\]
其中$$n<=10^9$$
题解
第一问
搞笑的
不会做？
算了。。
还是说一下：
想想\(\mu(x)\)是怎么算的？？？
既然是\(i^2\)，每个因数的个数一定不会是\(1\)
所以除了\(\mu(1)\)外一定都是\(0\)
所以第一问的答案一定是\(1\)
第二问：
先看看要求的是什么
\(\varphi(i^2)=i*\varphi(i)\)
为啥？？？
想想你线性筛是怎么写的，那么这个东西就很明显了。
\(10^9\)的范围
看着就不能线性筛
于是想到了杜教筛
设\(f(i)=\varphi(i^2)=i\varphi(i)\)
\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)
现在先搞一个\(g(x)\)出来，可以推出式子
（难道这就是杜教筛的套路式子吗？？）
\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})
\]
\]
现在要做的就是构造一个\(g(x)\)使得前面那玩意很好算
看一看\(f(i)=i\varphi(i)\)
往\(\varphi(i)\)的性质上面靠：
\(\sum_{d|i}\varphi(d)=i\)
要让$$(f*g)(i)=\sum_{d|i}f(d)g(\frac{i}{d})$$好算前缀和
直接写一下：
\[(f*g)(i)=\sum_{d|i}\varphi(d)dg(\frac{i}{d})
\]
\]
要是能够把\(d\)给搞掉多好，所以\(g(\frac{i}{d})\)最好能够把\(d\)搞掉
发现令\(g(x)=x\)就可以啦
\[(f*g)(i)=\sum_{d|i}\varphi(d)d\frac{i}{d}
\]
\]
\[=\sum_{d|i}\varphi(d)i
\]
\]
\[=i\sum_{d|i}\varphi(d)
\]
\]
\[=i^2
\]
\]
这个玩意的前缀和多好算
\[\sum_{i=1}^n(g*f)(i)=1^2+2^2+.....n^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]
\]
所以把那个我认为的杜教筛的套路式子拿出来
\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})
\]
\]
\[S(n)=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-\sum_{i=2}^niS(\frac{n}{i})
\]
\]
看起来可以杜教筛了嗷。。。
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MAX 10000000
#define MOD 1000000007
int n,N;
int pri[MAX+10],phi[MAX+10],tot,inv=166666668;
bool zs[MAX+10];
map<int,int> M;
void pre(int N)
{
zs[1]=true;phi[1]=1;
for(int i=2;i<=N;++i)
{
if(!zs[i])pri[++tot]=i,phi[i]=i-1;
for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=N;++j)
{
zs[i*pri[j]]=true;
if(i%pri[j])phi[i*pri[j]]=1ll*phi[i]*phi[pri[j]]%MOD;
else{phi[i*pri[j]]=1ll*phi[i]*pri[j]%MOD;break;}
}
}
for(int i=1;i<=N;++i)phi[i]=(1ll*i*phi[i]%MOD+phi[i-1])%MOD;
}
int S(int x)
{
if(x<=N)return phi[x];
if(M[x])return M[x];
int ret=1ll*x*(x+1)%MOD*(x+x+1)%MOD*inv%MOD;
for(int i=2,j;i<=x;i=j+1)
{
j=x/(x/i);
int tt=1ll*(i+j)*(j-i+1)/2%MOD;
ret-=1ll*tt*S(x/i)%MOD;
ret%=MOD;
}
return M[x]=(ret+MOD)%MOD;
}
int main()
{
scanf("%d",&n);puts("1");
pre(N=min(n,MAX));
printf("%d\n",S(n));
return 0;
}