[Swust OJ 567]--老虎在不在笼子里(凸包问题)

题目链接：http://acm.swust.edu.cn/problem/567/

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一只老虎自从看了<越狱>以来,脾气就比较暴躁,而且变得神神秘密的.一天管理员发现老虎不见了,这下他可急坏了,赶紧通知了110.幸好这只老虎身上装了GPS,所以还有希望找到他. 
你的任务就是通过GPS给出的老虎的坐标和笼子的坐标来让电脑计算出老虎的位置,是躲在洞里了,还是跑到外面去了.

Description

输入数据有N+2行: 
第一行是一个数据N(0<=N<=12),代表了笼子的坐标X,Y的个数(X,Y都在INT范围内); 
第二到N+1行是N个坐标X,Y,依次按从下逆时针的顺序来给出的. 
最后一行是老虎的坐标X,Y;

注：只有一组测试数据，输入的都是整数，笼子一定是凸多边形，而且老虎也不会出现在笼子边界上

三角形的面积可以用向量的外积来计算，那么多边形是N个三角形，那么就可以。。。。。

Input

如果老虎还在笼子里,输入"YES",否则是"NO";

Output

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

4 0 0 1 0 1 1 0 1 0.5 0.5 6 1 -1 2 0 1 1 -1 1 -2 0 -1 -1 3 3

Sample Input

1 2

YES NO

Sample Output

解题思路：这道题看上去可能会以为是一个很坑的数学问题，但是仔细读题就会发现

　　　　　这道题其实就是比较笼子构成的凸包面积，和加入老虎坐标新的点集构成的新凸包的面积

　　　　　是否相等的题，相等即老虎在笼子内，反之亦然~~

　　　　　关于凸包的问题，可以戳戳这里：http://www.cnblogs.com/zyxStar/p/4540984.html

代码如下：

 //只需要判断加入该点凸包面积，和笼子构成凸包面积是否相等即可

 #include<iostream>
 #include<cstdio>
 #include<algorithm>
 #include<stack>
 #include<cmath>
 using namespace std;
 struct node{
     double x, y;
 }point[], tiger[], posA, posB, tmp;//posB老虎基准量

 double dis(node a, node b){
     return pow((a.x - b.y), ) + pow((a.y - b.y), );
 }

 //按点集分布排序,利用向量平行关系判断
 bool cmp(node a, node b){
     double povit = (a.x - posA.x)*(b.y - posA.y) - (b.x - posA.x)*(a.y - posA.y);
     if (povit >  || !povit && (dis(a, posA) < dis(b, posA)))
         return true;
     return false;
 }

 //当前点是否在点集左侧,利用叉乘比较3个点两条线的斜率关系
 bool turn_left(node p1, node p2, node p3){
     return (p2.x*p1.y + p3.x*p2.y + p1.x*p3.y - p3.x*p1.y - p1.x*p2.y - p2.x*p3.y) >  ? true : false;
 }

 int main(){
     int i, sign1, sign2, n;
     double area1, area2;
     cin >> n;
     for (i = ; i < n; i++){
         cin >> point[i].x >> point[i].y;
         tiger[i].x = point[i].x;
         tiger[i].y = point[i].y;
     }
     cin >> tiger[i].x >> tiger[i].y;//老虎坐标
     stack<node> Q;
     sign1 = ;
     posA = posB = point[];
     //分别找到笼子，加入老虎坐标 的点集的最左下的点
     for (i = ; i < n + ; i++){
         if (i<n){
             if (posA.y == point[i].y&&posA.x>point[i].x || point[i].y < posA.y){
                 posA = point[i];
                 sign1 = i;
             }
         }
         else{
             posB = posA;
             sign2 = sign1;
             if (posB.y == tiger[i].y&&posB.x>tiger[i].x || tiger[i].y < posB.y){
                 posB = tiger[i];
                 sign2 = i;
             }
         }
     }
     swap(point[], point[sign1]);
     swap(tiger[], tiger[sign2]);
     sort(point + , point + n, cmp);//利用叉乘按点集离散化，方便筛选构成图凸包有效的点
     sort(tiger + , tiger + n + , cmp);
     Q.push(tiger[]), Q.push(tiger[]), Q.push(tiger[]);

     for (i = ; i < n + ; i++){
         while (!Q.empty()){
             tmp = Q.top();
             Q.pop();
             if (turn_left(tmp, Q.top(), tiger[i])){
                 Q.push(tmp);
                 break;
             }
         }
         Q.push(tiger[i]);
     }
     //由于给出笼子必为凸包，直接计算面积
     area1 = area2 = ;
     tmp = point[n - ];
     area1 += (posA.x*tmp.y - posA.y*tmp.x) / 2.0;
     for (i = n - ; i >= ; i--){
         area1 += (tmp.x*point[i].y - tmp.y*point[i].x) / 2.0;
         tmp = point[i];
     }

     tmp = Q.top(), Q.pop();
     area2 += (posA.x*tmp.y - posA.y*tmp.x) / 2.0;
     while (!Q.empty()){
         area2 += (tmp.x*Q.top().y - tmp.y*Q.top().x) / 2.0;
         tmp = Q.top();
         Q.pop();
     }
     printf("%s\n", area1 == area2 ? "YES" : "NO");
     return ;
 }