【BZOJ1778】[Usaco2010 Hol]Dotp 驱逐猪猡 期望DP+高斯消元

【BZOJ1778】[Usaco2010 Hol]Dotp 驱逐猪猡

Description

奶牛们建立了一个随机化的臭气炸弹来驱逐猪猡。猪猡的文明包含1到N (2 <= N <= 300)一共N个猪城。这些城市由M (1 <= M <= 44,850)条由两个不同端点A_j和B_j (1 <= A_j<= N; 1 <= B_j <= N)表示的双向道路连接。保证城市1至少连接一个其它的城市。一开始臭气弹会被放在城市1。每个小时（包括第一个小时），它有P/Q (1 <= P <=1,000,000; 1 <= Q <= 1,000,000)的概率污染它所在的城市。如果这个小时内它没有污染它所在的城市，那麽它随机地选择一条道路，在这个小时内沿着这条道路走到一个新的城市。可以离开这个城市的所有道路被选择的概率均等。因为这个臭气弹的随机的性质，奶牛们很困惑哪个城市最有可能被污染。给定一个猪猡文明的地图和臭气弹在每个小时内爆炸的概率。计算每个城市最终被污染的概率。如下例，假设这个猪猡文明有两个连接在一起的城市。臭气炸弹从城市1出发，每到一个城市，它都有1/2的概率爆炸。 1--2 可知下面这些路径是炸弹可能经过的路径（最后一个城市是臭气弹爆炸的城市）： 1: 1 2: 1-2 3: 1-2-1 4: 1-2-1-2 5: 1-2-1-2-1 ... 要得到炸弹在城市1终止的概率，我们可以把上面的第1，第3，第5……条路径的概率加起来，（也就是上表奇数编号的路径）。上表中第k条路径的概率正好是(1/2)^k，也就是必须在前k-1个回合离开所在城市（每次的概率为1 - 1/2 = 1/2）并且留在最后一个城市（概率为1/2）。所以在城市1结束的概率可以表示为1/2 + (1/2)^3 + (1/2)^5 + ...。当我们无限地计算把这些项一个个加起来，我们最后会恰好得到2/3，也就是我们要求的概率，大约是0.666666667。这意味着最终停留在城市2的概率为1/3，大约为0.333333333。

Input

* 第1行: 四个由空格隔开的整数: N, M, P, 和 Q * 第2到第M+1行: 第i+1行用两个由空格隔开的整数A_j和B_j表示一条道路。

Output

* 第1到第N行: 在第i行，用一个浮点数输出城市i被摧毁的概率。误差不超过10^-6的答桉会 被接受（注意这就是说你需要至少输出6位有效数字使得答桉有效）。

Sample Input

2 1 1 2
1 2

Sample Output

0.666666667
0.333333333

题解：好吧上来先Orz PoPoQQQ

然后本蒟蒻连题解都看了半天才懂，这里就做一下题解的注释吧~

1.矩阵的等比数列。。。什么鬼？
矩阵也是满足结合律的，跟数一样

2.为什么[I-T]乘过来后跑到了ans右边？
不然矩乘没有意义。。。

3.为什么要对[I-T]的转置求高斯消元？
因为矩乘的法则和方程组的运算法则是不一样的~你yy一下后会发现正好相反

#include <cstring>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
using namespace std;
const double eps=1e-10;
int n,m,p,q;
int pa[50010],pb[50010],d[310];
double v[310][310],ans[310];
int main()
{
	scanf("%d%d%d%d",&n,&m,&p,&q);
	if(p>q)	p=q;
	int i,j,k;
	for(i=1;i<=m;i++)	scanf("%d%d",&pa[i],&pb[i]),d[pa[i]]++,d[pb[i]]++;
	v[1][n+1]=1.0*p/q;
	for(i=1;i<=n;i++)	d[i]=max(d[i],1);
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		v[pb[i]][pa[i]]-=1.0*(q-p)/q/d[pa[i]];
		v[pa[i]][pb[i]]-=1.0*(q-p)/q/d[pb[i]];
	}
	for(i=1;i<=n;i++)	v[i][i]+=1.0;
	double t;
	for(i=1;i<=n;i++)
	{
		for(j=i+1;j<=n;j++)	if(fabs(v[j][i])>fabs(v[i][i]))	for(k=i;k<=n+1;k++)	swap(v[i][k],v[j][k]);
		for(j=i+1;j<=n;j++)
		{
			t=v[j][i]/v[i][i];
			for(k=i;k<=n+1;k++)	v[j][k]-=v[i][k]*t;
		}
	}
	for(i=n;i>=1;i--)
	{
		for(j=i+1;j<=n;j++)	v[i][n+1]-=v[i][j]*ans[j];
		ans[i]=v[i][n+1]/v[i][i];
	}
	for(i=1;i<=n;i++)	printf("%.9lf\n",ans[i]);
	return 0;
}