TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字

时间:2022-08-10 19:46:23

     关于本文说明,本人原博客地址位于http://blog.csdn.net/qq_37608890,本文来自笔者于2018年02月21日 23:10:04所撰写内容(http://blog.csdn.net/qq_37608890/article/details/79343860)。

       本文根据最近学习TensorFlow书籍网络文章的情况,特将一些学习心得做了总结,详情如下.如有不当之处,请各位大拿多多指点,在此谢过。

一、相关概念

1、MNIST

MNIST(Mixed National Institute of Standards and Technology database),作为一个常见的数据集,是一个巨大的手写数字数据集,经常被用来测试神经网络,被广泛应用于机器学习识别领域。MNIST 数据集可在 http://yann.lecun.com/exdb/mnist/ 获取, 它包含了四个部分:

  • Training set images: train-images-idx3-ubyte.gz (9.9 MB, 解压后 47 MB, 包含 60,000 个样本)

  • Training set labels: train-labels-idx1-ubyte.gz (29 KB, 解压后 60 KB, 包含 60,000 个标签)

  • Test set images: t10k-images-idx3-ubyte.gz (1.6 MB, 解压后 7.8 MB, 包含 10,000 个样本)

  • Test set labels: t10k-labels-idx1-ubyte.gz (5KB, 解压后 10 KB, 包含 10,000 个标签)

每一个训练元素都是28*28像素的手写数字图片,只有灰度值信息,空白部分为0,笔迹根据颜色深浅取[0, 1], 784维,丢弃二维空间信息,目标分0~9共10类。

2、One-Hot编码

在我们机器学习应用任务的实现过程中,针对有些非连续的数据,我们也会考虑使用数字来进行编码。例如“女人”编码为1,“男人”编码为2,即便如此,二者在数学上不存在连续关系,但是在机器学习算法中,会认为“女人”和“男人”之间存在着数学上的有序关系。

One-Hot编码:独热编码,又被称为一位有效编码,其方法是使用N位状态寄存器来对N个状态进行编码,任意一个状态都有它独立的寄存器位,并且在任意时候只有一位有效。例如上文中说的“女人”和“男人”共有两种状态,那么就可以编码为01和10,对于有N个状态的特征,经过one-hot编码后就会变成N个二元值,而其中只有一个为1。

主要优点如下:

  • 解决了分类器不好处理属性数据的问题;

  • 在一定程度上也起到了扩充特征的作用;

3、Softmax回归

在 logistic 回归中,我们的训练集由  m 个已标记的样本构成:TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 ,其中输入特征TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字。(我们对符号的约定如下:特征向量TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 的维度为TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字,其中 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 对应截距项 。) 由于 logistic 回归是针对二分类问题的,因此类标记TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字。假设函数(hypothesis function) 如下:

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将训练模型参数 \textstyle \theta,使其能够最小化代价函数 :

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在 softmax回归中,我们解决的是多分类问题(相对于 logistic 回归解决的二分类问题),类标TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 可以取TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 个不同的值(而不是 2 个)。因此,对于训练集 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字,我们有 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字。(注意此处的类别下标从 1 开始,而不是 0)。例如,在 MNIST 数字识别任务中,我们有 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字个不同的类别。

对于给定的测试输入TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字,我们想用假设函数针对每一个类别j估算出概率值 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字。也就是说,我们想估计 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字的每一种分类结果出现的概率。因此,我们的假设函数将要输出一个 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 维的向量(向量元素的和为1)来表示这 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 个估计的概率值。 具体地说,我们的假设函数TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 形式如下:

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其中 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 是模型的参数。请注意 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 这一项对概率分布进行归一化,使得所有概率之和为 1 。

为了方便起见,我们同样使用符号 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字来表示全部的模型参数。在实现Softmax回归时,将  TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字用一个TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字的矩阵来表示会很方便,该矩阵是将 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 按行罗列起来得到的,如下所示:

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二、案例一Softmax回归实现

1、简要概述 

截止目前,我们已经知道了Logistic函数只能被使用在二分类问题中,但是它的多项式回归,即softmax函数,可以解决多分类问题。假设softmax函数ς的输入数据是C维度的向量z,那么softmax函数的数据也是一个C维度的向量y,里面的值是0到1之间。softmax函数其实就是一个归一化的指数函数,定义如下:

TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字

式子中的分母充当了正则项的作用,可以使得

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作为神经网络的输出层,softmax函数中的值可以用C个神经元来表示。

对于给定的输入z,我们可以得到每个分类的概率t = c for c = 1 ... C可以表示为:

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其中,P(t=c|z)表示,在给定输入z时,该输入数据是c分类的概率。

下图展示了在一个二分类(t = 1, t = 2)中,输入向量是z = [z1, z2],那么输出概率P(t=1|z)如下图所示。

2、代码实现过程如下

#Softmax分类函数及其应用代码实现
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from matplotlib.colors import colorConverter,ListedColormap
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
from matplotlib import cm
%matplotlib inline #定义Softmax函数
def softmax(z):
return np.exp(z)/np.sum(np.exp(z))
#展示在一个二分类(t=1,t=2)中,输入向量是z=[z1,z2],
#那么输出概率为P(t=1|Z)的情况。
nb_of_zs = 200
zs = np.linspace(-10,10,num=nb_of_zs)
zs_1, zs_2 = np.meshgrid(zs, zs)
y = np.zeros((nb_of_zs,nb_of_zs,2))
for i in range(nb_of_zs):
for j in range(nb_of_zs):
y[i,j,:] = softmax(np.asarray([zs_1[i,j],zs_2[i,j]])) fig = plt.figure()
ax = fig.gca(projection='3d')
surf = ax.plot_surface(zs_1,zs_2,y[:,:,0],linewidth =0, cmap=cm.coolwarm)
ax.view_init(elev=30,azim=70)
cbar = fig.colorbar(surf)
ax.set_xlabel('$z_1$', fontsize=15)
ax.set_ylabel('$z_2$', fontsize=15)
ax.set_zlabel('$z_1$', fontsize=15)
ax.set_title('$P(t=1|\mathbf{z})$')
cbar.ax.set_ylabel('$P(t=1|\mathbf{z})$', fontsize=15)
plt.grid()
plt.show()

最终生成图像如下:

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3、Softmax回归模型参数化的特点

Softmax 回归有一个不寻常的特点:它有一个“冗余”的参数集。为了便于阐述这一特点,假设我们从参数向量 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字中减去了向量 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字,这时,每一个TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字  都变成了 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字)。此时假设函数变成了以下的式子:

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换句话说,从 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字中减去TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字完全不影响假设函数的预测结果!这表明前面的 softmax 回归模型中存在冗余的参数。更正式一点来说, Softmax 模型被过度参数化了。对于任意一个用于拟合数据的假设函数,可以求出多组参数值,这些参数得到的是完全相同的假设函数 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字

进一步而言,如果参数TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 是代价函数TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字  的极小值点,那么 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 同样也是它的极小值点,其中 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字可以为任意向量。因此使 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 最小化的解不是唯一的。(有趣的是,由于 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 仍然是一个凸函数,因此梯度下降时不会遇到局部最优解的问题。但是 Hessian 矩阵是奇异的/不可逆的,这会直接导致采用牛顿法优化就遇到数值计算的问题)。

注意,当 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 时,我们总是可以将 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字替换为TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字(即替换为全零向量),并且这种变换不会影响假设函数。因此我们可以去掉参数向量 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 (或者其他 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 中的任意一个)而不影响假设函数的表达能力。实际上,与其优化全部的TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字个参数 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 (其中 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字),我们可以令 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字,只优化剩余的 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字 个参数,这样算法依然能够正常工作。

在实际应用中,为了使算法实现更简单清楚,往往保留所有参数 TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字,而不任意地将某一参数设置为 0。但此时我们需要对代价函数做一个改动:加入权重衰减。权重衰减可以解决 softmax 回归的参数冗余所带来的数值问题。

三、TensorFlow实现Softmax Regression识别手写数字

1、项目背景

MNIST(Mixed National Institute of Standards and Technology
database),简单机器视觉数据集,由几万张28X28像素的手写数字组成,这些图片只包含灰度值信息,空白部分为0,笔迹根据颜色深浅取[0,
1], 784维,我们的目标是对这些手写数字的图片进行分类,转化成0~9共10类。

2、MNIST手写数字图片示例图

TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字

3、算法结构特点

  • 使用Softmax Regression分类模型进行分类。

  • 只有输入层和输出层,没有隐含层。

4、TensorFlow 实现简单机器算法步骤

  • 定义算法公式,神经网络forward计算。

  • 定义loss,选定优化器,指定优化器优化loss。

  • 迭代训练数据。

  • 测试集、验证集评测准确率。

5、实现过程

Softmax函数

TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字

计算过程可视化如下

TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字

具体代码实现如下

#调用相关数据
from tensorflow.examples.tutorials.mnist import input_data
mnist = input_data.read_data_sets("MNIST_data/", one_hot=True) #展示训练集、测试集、验证集样本
print(mnist.train.images.shape, mnist.train.labels.shape)
print(mnist.test.images.shape, mnist.test.labels.shape)
print(mnist.validation.images.shape, mnist.validation.labels.shape)
#图像展示
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
#imshow data
imgTol = mnist.train.images
img = np.reshape(imgTol[1,:],[28,28])
plt.show()

图像如下

TensorFlow实战之Softmax Regression识别手写数字

继续执行后续代码,查看Softmax Regression模型的效果情况

import tensorflow as tf
sess = tf.InteractiveSession()
x=tf.placeholder(tf.float32, [None,784])
W =tf.Variable(tf.zeros([784,10]))
b=tf.Variable(tf.zeros([10])) y = tf.nn.softmax(tf.matmul(x,W)+b)
y_ =tf.placeholder(tf.float32, [None, 10])
cross_entropy =tf.reduce_mean(-tf.reduce_sum(y_*tf.log(y),
reduction_indices=[1])) train_step =tf.train.GradientDescentOptimizer(0.5).minimize(cross_entropy)
tf.global_variables_initializer().run() for i in range(1000): batch_xs, batch_ys = mnist.train.next_batch(100)
train_step.run({x: batch_xs, y_:batch_ys}) correct_prediction =tf.equal(tf.argmax(y,1),tf.argmax(y_,1)) accuracy = tf.reduce_mean(tf.cast(correct_prediction, tf.float32)) print(accuracy.eval({x: mnist.test.images, y_: mnist.test.labels}))

关于执行准确率情况,笔者测试了7次,结果不尽相同,基本都是0.92左右。

第一次执行结果:0.9216;第二次三次执行结果:0.9171;第四次执行结果:0.9216;第五次执行结果:0.9193;第六次:0.9219;第七次:0.9165。

四、小结

本文涉及TensorFlow实现了一个简单的机器学习算法Softmax Regression,是一个没有隐含层的最浅的神经网络,整个流程在第三部分也提到,这里再次罗列出来,如下:

  1. 定义算法公式,神经网络forward计算。
  2. 定义loss,选定优化器,指定优化器优化loss。
  3. 迭代训练数据。
  4. 测试集、验证集评测准确率。

这四部分是使用TensorFlow进行算法设计、训练的核心流程,会贯穿神经网络的各类应用。需要提醒的是,我们定义的各个公式其实只是Computation Graph,在执行该行代码时,计算还没有实际发生,只有等调用run方法,并feed数据时计算才真正执行。例如cross_entropy、trian_step、accuracy等都是计算图中的节点,而并不是数据结果,可以通过调用run方法执行这些节点或者讲运算操作来获取结果。

至于第三部分Softmax Regression达到的效果,92%的准确率还不错,但还达不到实用的程度。手写数字的识别主要应用在银行等金融领域,如果准确率不够高,引起的后果将会非常严重。后续文章中,会从感知机、卷积神经网络的角度解决MNIST手写数字识别问题。

关于使用TensorFlow来实现Softmax Regression识别手写数字的撰写,暂时先到此。

主要参考资料《TensorFlow实战》(黄文坚  唐源 著)(电子工业出版社)