BZOJ_1096_[ZJOI2007]_仓库建设_(斜率优化动态规划+单调队列+特殊的前缀和技巧)

时间：2023-03-09 18:09:43
BZOJ_1096_[ZJOI2007]_仓库建设_(斜率优化动态规划+单调队列+特殊的前缀和技巧)

描述

http://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=1096

有\(n\)个工厂,给出第\(i\)个工厂的到1号工厂的距离\(x[i]\),货物数量\(p[i]\),建设仓库所需花费\(c[i]\).

现在要把所有货物都装入仓库,第\(i\)号工厂的货物可以选择在\(i\)建仓库并存入,或者移动到\(k\)号仓库\((i<k<=n)\).移动的花费为数量与距离的乘积.

分析

我们来想一想dp方程.

用\(dp[i]\)表示前\(i\)个工厂,且在\(i\)修建仓库的最少花费.那么有转移方程:$$dp[i]=min\{dp[j]+cost(j+1,i)\}+c[i]$$

其中\(cost(j+1,i)\)表示把\(j+1\)号到\(i\)号的货物全部运送到\(i\)号所需的总花费.

这个\(cost\)怎么求呢?

我们用前缀和\(s1[i]\)表示\(p[1]+p[2]+...+p[i]\).

这样\((s1[i]-s1[j])\times{x[i]})\)就表示把从\(j+1\)号到\(i\)号的所有货物从1号运送到\(i\)号的总花费.

我们发现对于每一个\(k(j+1<=k<=i)\)号工厂,多花费了把\(p[k]\)个货物从1号运送到\(j\)号的花费.我们现在要减去这些多余的花费.

用前缀和\(s2[i]\)表示\(p[1]x[1]+p[2][x2]+...+p[i]x[i]\).

这样\(s2[i]-s2[j]\)就是多余的那些花费了.

但是这样的算法复杂度是\(O(n^2)\)的,注定要爆炸,所以我们考虑用斜率优化的办法把复杂度降到\(O(n)\).

首先变形,原式$$dp[i]=min\{dp[j]+(s1[i]-s1[j])\times{x[i]}-(s2[i]-s2[j])\}+c[i]$$

变形为$$dp[i]=min\{dp[j]+s2[j]-x[i]\times{s1[j]}\}+s1[i]\times{x[i]}-s2[i]+c[i]$$

设\(j<k<i\),\(k\)比\(j\)决策更优.则有$$dp[k]+s2[k]-x[i]\times{s1[k]}<dp[j]+s2[j]-x[i]\times{s1[j]}$$

即$$\frac{(dp[k]+s2[k])-(dp[j]+s2[j])}{s1[k]-s1[j]}<x[i]$$

单调队列搞一搞...

 #include <bits/stdc++.h>

 using namespace std;

 typedef long long ll;

 const int maxn=1e6+;

 ll n;

 ll x[maxn],p[maxn],c[maxn],s1[maxn],s2[maxn],q[maxn],dp[maxn];

 inline void read (ll &x){ x=;ll k=;char c;for(c=getchar();c<''||c>'';c=getchar())if(c=='-')k=-;for(;c>=''&&c<='';c=getchar())x=x*+c-'';x*=k; }

 inline ll up(int k,int j){ return dp[k]-dp[j]+s2[k]-s2[j]; }

 inline ll dn(int k,int j){ return s1[k]-s1[j]; }

 void init(){

     read(n);

     for(int i=;i<=n;i++){

         read(x[i]), read(p[i]), read(c[i]);

         s1[i]=s1[i-]+p[i];

         s2[i]=s2[i-]+p[i]*x[i];

     }

 }

 void solve(){

     ll front=,tail=;

     for(int i=;i<=n;i++){

         while(front+<tail&&up(q[front+],q[front])<dn(q[front+],q[front])*x[i]) front++;

         int j=q[front]; dp[i]=dp[j]+(s1[i]-s1[j])*x[i]-(s2[i]-s2[j])+c[i];

         while(front+<tail&&up(i,q[tail-])*dn(q[tail-],q[tail-])<=up(q[tail-],q[tail-])*dn(i,q[tail-])) tail--;

         q[tail++]=i;

     }

     printf("%lld\n",dp[n]);

 }

 int main(){

     init();

     solve();

     return ;

 }

1096: [ZJOI2007]仓库建设

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 162 MB
Submit: 3730  Solved: 1640
[Submit][Status][Discuss]

Description

　　L公司有N个工厂，由高到底分布在一座山上。如图所示，工厂1在山顶，工厂N在山脚。由于这座山处于高原内
陆地区（干燥少雨），L公司一般把产品直接堆放在露天，以节省费用。突然有一天，L公司的总裁L先生接到气象
部门的电话，被告知三天之后将有一场暴雨，于是L先生决定紧急在某些工厂建立一些仓库以免产品被淋坏。由于
地形的不同，在不同工厂建立仓库的费用可能是不同的。第i个工厂目前已有成品Pi件，在第i个工厂位置建立仓库
的费用是Ci。对于没有建立仓库的工厂，其产品应被运往其他的仓库进行储藏，而由于L公司产品的对外销售处设
置在山脚的工厂N，故产品只能往山下运（即只能运往编号更大的工厂的仓库），当然运送产品也是需要费用的，
假设一件产品运送1个单位距离的费用是1。假设建立的仓库容量都都是足够大的，可以容下所有的产品。你将得到
以下数据：1：工厂i距离工厂1的距离Xi（其中X1=0）;2：工厂i目前已有成品数量Pi;:3：在工厂i建立仓库的费用
Ci;请你帮助L公司寻找一个仓库建设的方案，使得总的费用（建造费用+运输费用）最小。

Input

　　第一行包含一个整数N，表示工厂的个数。接下来N行每行包含两个整数Xi, Pi, Ci, 意义如题中所述。

Output

　　仅包含一个整数，为可以找到最优方案的费用。

Sample Input

3
0 5 10
5 3 100
9 6 10

Sample Output

32

HINT

在工厂1和工厂3建立仓库，建立费用为10+10=20，运输费用为(9-5)*3 = 12，总费用32。如果仅在工厂3建立仓库，建立费用为10，运输费用为(9-0)*5+(9-5)*3=57，总费用67，不如前者优。

【数据规模】

对于100%的数据， N ≤1000000。 所有的Xi, Pi, Ci均在32位带符号整数以内，保证中间计算结果不超过64位带符号整数。

Source