[Usaco2009 Dec]Toll 过路费

时间：2023-03-09 00:12:13
[Usaco2009 Dec]Toll 过路费

　　题面：

跟所有人一样，农夫约翰以着宁教我负天下牛，休教天下牛负我(原文:宁我负人,休教人负我)的伟大精神，日日夜夜苦思生财之道。为了发财，他设置了一系列的规章制度，使得任何一只奶牛在农场中的道路行走，都要向农夫约翰上交过路费。

农场中由N（1 <= N <= 250）片草地（标号为1到N），并且有M（1 <= M <= 10000）条双向道路连接草地A_j和B_j（1 <= A_j <= N; 1 <= B_j <= N）。奶牛们从任意一片草地出发可以抵达任意一片的草地。FJ已经在连接A_j和B_j的双向道路上设置一个过路费L_j（1 <= L_j <= 100,000）。

可能有多条道路连接相同的两片草地，但是不存在一条道路连接一片草地和这片草地本身。最值得庆幸的是，奶牛从任意一篇草地出发，经过一系列的路径，总是可以抵达其它的任意一片草地。

除了贪得无厌，宁智贤都不知道该说什么好。FJ竟然在每片草地上面也设置了一个过路费C_i（1 <= C_i <= 100000）。从一片草地到另外一片草地的费用，是经过的所有道路的过路费之和，加上经过的所有的草地（包括起点和终点）的过路费的最大值。

任劳任怨的牛们希望去调查一下她们应该选择那一条路径。她们要你写一个程序，接受K（1 <= K <= 10,000）个问题并且输出每个询问对应的最小花费。第i个问题包含两个数字s_i和t_i（1 <= s_i <= N; 1 <= t_i <= N; s_i != t_i），表示起点和终点的草地。

考虑下面这个包含5片草地的样例图像:

[Usaco2009 Dec]Toll 过路费

从草地1到草地2的道路的“边过路费”为3，草地2的“点过路费”为5。

要从草地1走到草地4，可以从草地1走到草地3再走到草地5最后抵达草地4。如果这么走的话，
需要的“边过路费”为2+1+1=4，需要的点过路费为4（草地5的点过路费最大），所以总的花
费为4+4=8。

而从草地2到草地3的最佳路径是从草地2出发，抵达草地5，最后到达草地3。这么走的话，边
过路费为3+1=4，点过路费为5，总花费为4+5=9。

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思路：

　　非常神奇的一道题，对弗洛伊德摸得很透才能A掉，仍然是找最短路径，但是多了经过点的花费。

仍然使用弗洛伊德枚举过渡点。但需要加上比较起点，终点和每个过渡点花费的代码。

大体上是这个样子

 for(int t=;t<=n;t++)

     {

         int k=dian[t].id;//点的编号

         for(int i=;i<=n;i++)

             for(int j=;j<=n;j++)

             {

                 dis[i][j]=dis[j][i]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j]);//弗洛伊德找最短路

                 g[i][j]=g[j][i]=min(g[i][j],dis[i][j]+max(dian[t].v,max(w[i],w[j])));//比较出起点终点和过渡点的最大值，然后加上最短路的值。

             }

     }

当然，我们还需要把全部的点按照花费升序排序，这样可以保证每条路径上后循环到的过渡点花费更大，不会出现错误。

举个例子吧：

　　按照题目中给的图，假设走1,2,4,5这条路，由于根据点的花费排序，我们第一次搜到的过渡点必然是4，也就是1,4,5这三个点比较，然后将最大值加上路径花费并记录。之后的某个时刻会搜到1,2,5这三个点，值就可以更新。假如不排序，最后的结果就是按照1,4,5来算，显然是错误的。

代码：

 #include<iostream>

 #include<cstring>

 #include<cstdio>

 #include<algorithm>

 using namespace std;

 const int maxn=;

 int dis[][],w[],g[][],n,m,k;

 struct f

 {

     int v,id;

 }dian[];

 bool pan(f a,f b)

 {

     return a.v<b.v;

 }

 void init()

 {

     cin>>n>>m>>k;

     for(int i=;i<=n;i++)

     {

         cin>>dian[i].v;

         dian[i].id=i;

         w[i]=dian[i].v;

     }

     sort(dian+,dian+n+,pan);

     memset(dis,,sizeof(dis));

     memset(g,,sizeof(g));

     for(int i=;i<=m;i++)

     {

         int x,y,v;

         cin>>x>>y>>v;

         if(v<dis[x][y])

         dis[x][y]=v;

         if(v<dis[y][x])

         dis[y][x]=v;

     }

 }

 void floyed()

 {

     for(int i=;i<=n;i++)

         g[i][i]=dian[i].v;

     for(int t=;t<=n;t++)

     {

         int k=dian[t].id;

         for(int i=;i<=n;i++)

             for(int j=;j<=n;j++)

             {

                 dis[i][j]=dis[j][i]=min(dis[i][k]+dis[k][j],dis[i][j]);

                 g[i][j]=g[j][i]=min(g[i][j],dis[i][j]+max(dian[t].v,max(w[i],w[j])));

             }

     }

 }

 int main()

 {

     memset(dis,,sizeof(dis));

     memset(dian,,sizeof(dian));

     for(int i=;i<=n;i++) dis[i][i]=;

     init();

     floyed();

      for(int i=;i<=k;i++)

     {

         int st,ed;

         cin>>st>>ed;

         cout<<g[st][ed]<<endl;

     }

      return ;

 }

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感谢Supersumax-MHZ提供的神奇代码

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