数表
Description
有一张 n*m 的数表，其第i行第j列（1<=i<=n，1<=j<=m）的数值为能同时整除 i和j的所有自然数之和。给定a，计算数表中不大于a的数之和。
Input
输入包含多组数据。
输入的第一行一个整数Q，表示测试点内的数据组数；
接下来Q行，每行三个整数n,m,a(|a|<=10^9 )描述一组数据。
Output
对每组数据，输出一行一个整数，表示答案模2^31的值。
Sample Input
2
4 4 3
10 10 5
Sample Output
20
148
Hint
不妨设\(n<m\)。
同时整除\(i,j\)的自然数之和就是\(gcd(i,j)\)的约数之和。我们设\(f(i)=\sum_{d|i}d\)。
则:
\[\displaystyle ans=\sum_{g=1}^{n}f(g)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{g} \rfloor}[gcd(i,j)=1]\\
=\sum_{g=1}^{n}f(g)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{g} \rfloor}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)
\]
=\sum_{g=1}^{n}f(g)\sum_{i=1}^{\lfloor \frac{n}{g} \rfloor}\sum_{j=1}^{\lfloor \frac{m}{g} \rfloor}\sum_{d|i,d|j}\mu(d)
\]
又来套路一波：设\(T=gd\)，\(\displaystyle ans=\sum_{T=1}^{n}\sum_{d|T}\mu(d)f(\frac{n}{d})\lfloor \frac{n}{T} \rfloor\lfloor \frac{m}{T} \rfloor\)。
然后又了a的限制后，我们就将询问和\(f\)都离线下来排序，加入树状数组里面。
代码：
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<complex>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<iomanip>
#define ll long long
#define N 100005
#define int ll
using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}
int Q;
int pri[N];
bool vis[N];
ll sum[N];
int mu[N];
struct node {
int id;
ll sum;
bool operator <(const node &a)const {
return sum<a.sum;
}
}st[N];
int cnt;
struct query {
int n,m,id;
ll a;
bool operator <(const query &x)const {return a<x.a;}
}q[20005];
void pre(int n) {
mu[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++) {
if(!vis[i]) {
pri[++pri[0]]=i;
mu[i]=-1;
}
for(int j=1;j<=pri[0]&&i*pri[j]<=n;j++) {
vis[i*pri[j]]=1;
if(i%pri[j]==0) {
mu[i*pri[j]]=0;
break;
}
mu[i*pri[j]]=-mu[i];
}
}
for(int i=1;i<=n;i++) {
for(int j=i;j<=n;j+=i) {
sum[j]+=i;
}
}
cnt=n;
for(int i=1;i<=n;i++) st[i]=(node) {i,sum[i]};
}
ll tem[N];
int low(int i) {return i&(-i);}
const ll mod=(1ll<<31);
void add(int v,ll f) {for(int i=v;i<=100000;i+=low(i)) (tem[i]+=f)%=mod;}
void update(int v) {
for(int i=v;i<=100000;i+=v) {
if(!mu[i/v]) continue ;
add(i,(sum[v]*mu[i/v]%mod+mod)%mod);
}
}
ll Ask(int v) {
ll ans=0;
for(int i=v;i;i-=low(i)) (ans+=tem[i])%=mod;
return ans;
}
ll Ask(int l,int r) {return (Ask(r)-Ask(l-1)+mod)%mod;}
ll ans[20005];
int now;
ll solve(int n,int m) {
if(n>m) swap(n,m);
int last;
ll ans=0;
for(int i=1;i<=n;i=last+1) {
last=min(n/(n/i),m/(m/i));
(ans+=1ll*(n/i)*(m/i)%mod*Ask(i,last)%mod)%=mod;
}
return ans;
}
signed main() {
pre(100000);
sort(st+1,st+1+cnt);
Q=Get();
for(int i=1;i<=Q;i++) {
q[i].n=Get(),q[i].m=Get(),q[i].a=Get();
q[i].id=i;
}
sort(q+1,q+1+Q);
int tag=1;
for(int i=1;i<=Q;i++) {
while(tag<=cnt&&st[tag].sum<=q[i].a) {
update(st[tag].id);
tag++;
}
now=i;
ans[q[i].id]=solve(q[i].n,q[i].m);
}
for(int i=1;i<=Q;i++) cout<<ans[i]<<"\n";
return 0;
}