![Codeforces 848C Goodbye Souvenir [CDQ分治，二维数点]](https://image.shishitao.com:8440/aHR0cHM6Ly9ia3FzaW1nLmlrYWZhbi5jb20vdXBsb2FkL2NoYXRncHQtcy5wbmc%2FIQ%3D%3D.png?!?w=700&webp=1 "Codeforces 848C Goodbye Souvenir [CDQ分治，二维数点]")
这题我写了四种做法……
思路
不管做法怎样，思路都是一样的。
好吧，其实不一样，有细微的差别。
第一种
考虑位置\(x\)对区间\([l,r]\)有\(\pm x\)的贡献当且仅当\(pre_x\!\!<\!l \;or\;nxt_x\!\!>\!r\)，其中\(pre,nxt\)表示与\(x\)同种颜色的前驱后继。
那么题目就转化为二维数点了：一维是位置，一维是前驱/后继，权值是\(\pm\)位置。
第二种
考虑最后的减去开始的等价于每一位减去前面的。
即位置\(x\)的贡献是\(x-pre_x,pre_x\geq l\)。
那么题目同样转化为二维数点：一维是位置，一维是前驱，权值是\(x-pre_x\)。
做法
做法一
按照第一种思路，暴力树套树。
然而这样你会发现自己要么MLE要么RE……
做法二
按照第一种思路，莫队+树状数组。
然而你会不停地TLE，而且我的卡常技巧不够高超，放弃了。
做法三
按照第二种思路，莫队+树状数组。
并不需要怎么卡常就可以过。
做法四
这个是正解了。CDQ分治+二维数点。
用第二种思路，每次\(pre_x\)的变动可以变为在\((x,pre_x)\)这个点上加减\(x-pre_x\)，询问可以变为查询以\((l,l)\)为左下角，\((r,n)\)为右上角的矩形之和。按照时间CDQ分治，每次算左边的点对右边的矩形的贡献。
然而这个矩形不好看，似乎还要差分/树套树？
其实并不用。考虑\(x>pre_x\)，所以直线\(y=x\)上方是没有点的，可以把查询变成以\((1,l)\)为左下角，\((r,n)\)为右上角的矩形。这样可以扫描线+树状数组了。
时间复杂度应该是\(O(n\log^2 n)\)。
代码
做法一
#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
#define MP make_pair
#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
#define sz 101010
typedef long long ll;
template<typename T>
inline void read(T& t)
{
t=0;char f=0,ch=getchar();
double d=0.1;
while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
if(ch=='.')
{
ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();
}
t=(f?-t:t);
}
template<typename T,typename... Args>
inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
void file()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.txt","r",stdin);
#endif
}
// inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
int n,m;
int a[sz];
int pre[sz],nxt[sz];
set<int>s[sz];
#define Tree sz*100
int Ls[Tree],Rs[Tree];
ll sum[2][Tree]; // 0:pre 1:nxt
#define Lson Ls[k],l,mid
#define Rson Rs[k],mid+1,r
int cnt;
int bin[Tree],top;
void del(int &k){Ls[k]=Rs[k]=sum[0][k]=sum[1][k]=0;bin[++top]=k;k=0;}
int newnode(){return top?bin[top--]:++cnt;}
void Add(int &k,int l,int r,int x,int y,int t)
{
if (!k) k=newnode();
sum[t][k]+=y;
if (l==r) { if (!sum[0][k]&&!sum[1][k]) del(k); return; }
int mid=(l+r)>>1;
if (x<=mid) Add(Lson,x,y,t);
else Add(Rson,x,y,t);
if (!sum[0][k]&&!sum[1][k]) del(k);
}
ll Query(int k,int l,int r,int x,int y,int t)
{
if (!k||x>y||!sum[t][k]) return 0;
if (x<=l&&r<=y) return sum[t][k];
int mid=(l+r)>>1;ll ret=0;
if (x<=mid) ret+=Query(Lson,x,y,t);
if (y>mid) ret+=Query(Rson,x,y,t);
return ret;
}
void Debug(int k,int l,int r,int t)
{
if (!k) { rep(i,l,r) printf("0 "); return; }
if (l==r) return (void)printf("%lld ",sum[t][k]);
int mid=(l+r)>>1;
rep(i,0,1) assert(sum[i][k]==sum[i][Ls[k]]+sum[i][Rs[k]]);
Debug(Lson,t);Debug(Rson,t);
}
#undef Lson
#undef Rson
int root[sz<<2];
#define ls k<<1
#define rs k<<1|1
#define lson ls,l,mid
#define rson rs,mid+1,r
ll query(int k,int l,int r,int x,int y)
{
if (x<=l&&r<=y)
{
ll a=Query(root[k],0,n+1,y+1,n+1,1),b=Query(root[k],0,n+1,0,x-1,0);
return a-b;
}
int mid=(l+r)>>1;ll ret=0;
if (x<=mid) ret+=query(lson,x,y);
if (y>mid) ret+=query(rson,x,y);
return ret;
}
void debug(int k,int l,int r)
{
printf("%d ~ %d:\n",l,r);
printf("pre: ");Debug(root[k],0,n+1,0);puts("");
printf("nxt: ");Debug(root[k],0,n+1,1);puts("");
if (l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
debug(lson);debug(rson);
}
void change(int k,int l,int r,int x,int a,int b) // pre[x]->a , nxt[x]->b
{
if (pre[x]!=-1) Add(root[k],0,n+1,pre[x],-x,0);
Add(root[k],0,n+1,a,x,0);
if (nxt[x]!=-1) Add(root[k],0,n+1,nxt[x],-x,1);
Add(root[k],0,n+1,b,x,1);
if (l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
if (x<=mid) change(lson,x,a,b);
else change(rson,x,a,b);
}
int calcPre(int x,int col){set<int>::iterator it=s[col].lower_bound(x);--it;return *it;}
int calcNxt(int x,int col){return *(s[col].upper_bound(x));}
int main()
{
file();
int x,y,z;
read(n,m);
rep(i,1,n) s[i].insert(0),s[i].insert(n+1);
rep(i,1,n) read(a[i]),s[a[i]].insert(i);
rep(i,1,n)
{
int Pre=calcPre(i,a[i]),Nxt=calcNxt(i,a[i]);
pre[i]=nxt[i]=-1;
change(1,1,n,i,Pre,Nxt);
pre[i]=Pre,nxt[i]=Nxt;
}
while (m--)
{
read(z,x,y);
if (z==1)
{
if (y==a[x]) continue;
int Pre=calcPre(x,y),Nxt=calcNxt(x,y);
change(1,1,n,x,Pre,Nxt);
if (pre[x]!=0) change(1,1,n,pre[x],pre[pre[x]],nxt[x]);
if (nxt[x]!=n+1) change(1,1,n,nxt[x],pre[x],nxt[nxt[x]]);
if (Pre!=0) change(1,1,n,Pre,pre[Pre],x);
if (Nxt!=n+1) change(1,1,n,Nxt,x,nxt[Nxt]);
s[a[x]].erase(x);s[y].insert(x);
a[x]=y;
if (nxt[x]!=n+1) pre[nxt[x]]=pre[x];
if (pre[x]!=0) nxt[pre[x]]=nxt[x];
if (Pre!=0) nxt[Pre]=x;
if (Nxt!=n+1) pre[Nxt]=x;
pre[x]=Pre;nxt[x]=Nxt;
}
else printf("%lld\n",query(1,1,n,x,y));
}
}
做法二
代码被我瞎卡一波常数之后变得巨丑无比。
#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
using namespace std;
#define rep(i,x,y) for (R int i=x;i<=y;++i)
#define sz 101001
typedef long long ll;
template<typename T>
inline void read(T& t)
{
t=0;char f=0,ch=getchar();
double d=0.1;
while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
if(ch=='.')
{
ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();
}
t=(f?-t:t);
}
template<typename T,typename... Args>
inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
void file()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.txt","r",stdin);
#endif
}
// inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
int n,m;
int a[sz];
int pre[sz],nxt[sz];
int w[2][sz]; // 0:pre 1:nxt
set<int>s[sz];
ll S1;
ll sum[2][sz];
#define I inline
#define R register
I void Add(R int x,R ll v,R int t){S1+=v*t;while (x<=n+2) sum[t][x]+=v,x+=(x&(-x));}
I ll Query(R int x,R int t){ll ret=0;while (x) ret+=sum[t][x],x-=(x&(-x));return ret;}
ll ans[sz];
int blo;
int pos[sz];
void init(){blo=pow(n,2.0/3);rep(i,1,sz-1) pos[i]=i/blo;}
struct hh
{
int l,r,tim,id;
I const bool operator < (const hh &a) const
{
if (pos[l]!=pos[a.l]) return pos[l]<pos[a.l];
if (pos[r]!=pos[a.r]) return pos[r]<pos[a.r];
return tim<a.tim;
}
}q[sz];
struct hhh
{
int pos,u,t; // t=0:pre t=1:nxt w[t][pos]->u
inline hhh(int Pos=0,int U=0,int T=0){pos=Pos,u=U,t=T;}
}p[sz*6];
I void swap(int &x,int &y){int t=x;x=y,y=t;}
#define add(x) Add(w[0][x]+1,x,0);Add(w[1][x]+1,x,1);
I void del(R int x){Add(w[0][x]+1,-x,0);Add(w[1][x]+1,-x,1);}
I void work(R hhh &a,R int l,R int r)
{
R int pos=a.pos,t=a.t,&W=w[t][pos];
if (l<=pos&&pos<=r) Add(W+1,-pos,t);
R int tt=a.u;a.u=W;W=tt;
if (l<=pos&&pos<=r) Add(W+1,pos,t);
}
I int calcPre(R int x,R int col){set<int>::iterator it=s[col].lower_bound(x);--it;return *it;}
I int calcNxt(R int x,R int col){return *(s[col].upper_bound(x));}
signed main()
{
srand(time(0));rep(i,1,233) srand(rand());
file();
R int x,y,z;
read(n,m);
init();
rep(i,1,n) s[i].insert(0),s[i].insert(n+1);
rep(i,1,n) read(a[i]),s[a[i]].insert(i);
rep(i,1,n) w[0][i]=pre[i]=calcPre(i,a[i]),w[1][i]=nxt[i]=calcNxt(i,a[i]);
R int tim=0,c=0;
rep(_,1,m)
{
read(z,x,y);
if (z==1)
{
if (y==a[x]) continue;
int Pre=calcPre(x,y),Nxt=calcNxt(x,y);
s[a[x]].erase(x);s[y].insert(x);
a[x]=y;
if (nxt[x]!=n+1) p[++tim]=hhh(nxt[x],pre[x],0),pre[nxt[x]]=pre[x];
if (pre[x]!=0) p[++tim]=hhh(pre[x],nxt[x],1),nxt[pre[x]]=nxt[x];
if (Pre!=0) p[++tim]=hhh(Pre,x,1),nxt[Pre]=x;
if (Nxt!=n+1) p[++tim]=hhh(Nxt,x,0),pre[Nxt]=x;
pre[x]=Pre;nxt[x]=Nxt;
p[++tim]=hhh(x,Pre,0);p[++tim]=hhh(x,Nxt,1);
}
else ++c,q[c]=(hh){x,y,tim,c};
}
sort(q+1,q+c+1);
R int l=1,r=0;tim=0;
rep(i,1,c)
{
R int L=q[i].l,RR=q[i].r,Tim=q[i].tim;
while (tim<Tim) work(p[++tim],l,r);
while (tim>Tim) work(p[tim--],l,r);
while (l<L) {Add(w[0][l]+1,-l,0);Add(w[1][l]+1,-l,1);++l;}
while (l>L) {--l;Add(w[0][l]+1,l,0);Add(w[1][l]+1,l,1);}
while (r<RR) {++r;Add(w[0][r]+1,r,0);Add(w[1][r]+1,r,1);}
while (r>RR) {Add(w[0][r]+1,-r,0);Add(w[1][r]+1,-r,1);--r;}
ans[q[i].id]=S1-Query(RR+1,1)-Query(L-1+1,0);
}
rep(i,1,c) printf("%lld\n",ans[i]);
}
做法三
#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
#define MP make_pair
#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
#define sz 101001
typedef long long ll;
template<typename T>
inline void read(T& t)
{
t=0;char f=0,ch=getchar();
double d=0.1;
while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
if(ch=='.')
{
ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();
}
t=(f?-t:t);
}
template<typename T,typename... Args>
inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
void file()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.txt","r",stdin);
#endif
}
// inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
int n,m;
int a[sz];
int pre[sz],nxt[sz];
int w[sz];
set<int>s[sz];
ll sum[sz];
//void add(int x,ll v){if (!x) return;while (x<=n) sum[x]+=v,x+=(x&(-x));}
//ll query(int x){ll ret=0;while (x) ret+=sum[x],x-=(x&(-x));return ret;}
void add(int x,ll v){sum[x]+=v;}
ll query(int x){ll ret=0;rep(i,1,x) ret+=sum[i];return ret;}
ll ans[sz];
int blo;
int pos[sz];
void init(){blo=pow(n,2.0/3);rep(i,1,sz-1) pos[i]=i/blo;}
struct hh
{
int l,r,tim,id;
const bool operator < (const hh &a) const
{
if (pos[l]!=pos[a.l]) return pos[l]<pos[a.l];
if (pos[r]!=pos[a.r]) return pos[r]<pos[a.r];
return tim<a.tim;
}
}q[sz];
struct hhh
{
int pos,v; // pre[pos] -> v
hhh(int Pos=0,int V=0){pos=Pos,v=V;}
}p[sz*6];
void add(int x){add(w[x],x-w[x]);}
void del(int x){add(w[x],w[x]-x);}
void work(hhh &a,int l,int r)
{
if (l<=a.pos&&a.pos<=r) add(w[a.pos],w[a.pos]-a.pos);
swap(a.v,w[a.pos]);
if (l<=a.pos&&a.pos<=r) add(w[a.pos],a.pos-w[a.pos]);
}
int calcPre(int x,int col){set<int>::iterator it=s[col].lower_bound(x);--it;return *it;}
int calcNxt(int x,int col){return *(s[col].upper_bound(x));}
int main()
{
file();
int x,y,z;
read(n,m);
init();
rep(i,1,n) s[i].insert(0),s[i].insert(n+1);
rep(i,1,n) read(a[i]),s[a[i]].insert(i);
int tim=0,c=0;
rep(i,1,n) w[i]=pre[i]=calcPre(i,a[i]),nxt[i]=calcNxt(i,a[i]);
while (m--)
{
read(z,x,y);
if (z==1)
{
if (y==a[x]) continue;
int Pre=calcPre(x,y),Nxt=calcNxt(x,y);
s[a[x]].erase(x);s[y].insert(x);
a[x]=y;
if (nxt[x]!=n+1)
pre[nxt[x]]=pre[x],
p[++tim]=hhh(nxt[x],pre[nxt[x]]);
if (pre[x]!=0) nxt[pre[x]]=nxt[x];
if (Pre!=0) nxt[Pre]=x;
if (Nxt!=n+1)
pre[Nxt]=x,
p[++tim]=hhh(Nxt,pre[Nxt]);
pre[x]=Pre;nxt[x]=Nxt;
p[++tim]=hhh(x,pre[x]);
}
else ++c,q[c]=(hh){x,y,tim,c};
}
sort(q+1,q+c+1);
int l=1,r=0;tim=0;
rep(i,1,c)
{
int L=q[i].l,R=q[i].r,Tim=q[i].tim;
while (tim<Tim) work(p[++tim],l,r);
while (tim>Tim) work(p[tim--],l,r);
while (l<L) del(l++);
while (l>L) add(--l);
while (r<R) add(++r);
while (r>R) del(r--);
ans[q[i].id]=query(n)-query(L-1);
}
rep(i,1,c) printf("%lld\n",ans[i]);
}
做法四
正解比暴力好写多了呢……
#include<bits/stdc++.h>
namespace my_std{
using namespace std;
#define pii pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
#define MP make_pair
#define rep(i,x,y) for (int i=(x);i<=(y);i++)
#define drep(i,x,y) for (int i=(x);i>=(y);i--)
#define go(x) for (int i=head[x];i;i=edge[i].nxt)
#define sz 101010
typedef long long ll;
template<typename T>
inline void read(T& t)
{
t=0;char f=0,ch=getchar();
double d=0.1;
while(ch>'9'||ch<'0') f|=(ch=='-'),ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t=t*10+ch-48,ch=getchar();
if(ch=='.')
{
ch=getchar();
while(ch<='9'&&ch>='0') t+=d*(ch^48),d*=0.1,ch=getchar();
}
t=(f?-t:t);
}
template<typename T,typename... Args>
inline void read(T& t,Args&... args){read(t); read(args...);}
void file()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
freopen("a.txt","r",stdin);
#endif
}
// inline ll mul(ll a,ll b){ll d=(ll)(a*(double)b/mod+0.5);ll ret=a*b-d*mod;if (ret<0) ret+=mod;return ret;}
}
using namespace my_std;
int n,m,Q;
int a[sz];
int pre[sz],nxt[sz];
set<int>s[sz];
int calcPre(int x,int col){set<int>::iterator it=s[col].lower_bound(x);--it;return *it;}
int calcNxt(int x,int col){return *(s[col].upper_bound(x));}
ll ans[sz];
struct hh
{
int type; // 0:modify 1:query
int x,y,val;
int id;
}q[sz*6];
inline bool cmp(const hh &x,const hh &y)
{
if (x.type!=y.type) return x.type<y.type;
if (x.type) return x.y<y.y;
return x.x<y.x;
}
inline void calc(int x,int v) // pre[x]->v
{
q[++m]=(hh){0,x,pre[x],pre[x]-x,0};
pre[x]=v;
q[++m]=(hh){0,x,v,x-v,0};
}
ll sum[sz];
void add(int x,ll v){ if (!x) return; while (x<=n) sum[x]+=v,x+=(x&(-x)); }
ll query(int x){ ll ret=0; while (x) ret+=sum[x],x-=(x&(-x)); return ret; }
void solve(int l,int r)
{
if (l==r) return;
int mid=(l+r)>>1;
solve(l,mid);solve(mid+1,r);
int p=l-1;
rep(i,mid+1,r) if (q[i].type)
{
while (p<mid&&(q[p+1].type||q[p+1].x<=q[i].y))
{
++p;
if (!q[p].type) add(q[p].y,q[p].val);
}
ans[q[i].id]+=query(n)-query(q[i].x-1);
}
rep(i,l,p) if (!q[i].type) add(q[i].y,-q[i].val);
sort(q+l,q+r+1,cmp);
}
int main()
{
file();
int x,y,z;
read(n,Q);
rep(i,1,n) s[i].insert(0),s[i].insert(n+1);
rep(i,1,n) read(a[i]),s[a[i]].insert(i);
rep(i,1,n) pre[i]=calcPre(i,a[i]),nxt[i]=calcNxt(i,a[i]),q[++m]=(hh){0,i,pre[i],i-pre[i],0};
int c=0;
while (Q--)
{
read(z,x,y);
if (z==1)
{
if (y==a[x]) continue;
int Pre=calcPre(x,y),Nxt=calcNxt(x,y);
s[a[x]].erase(x);s[y].insert(x);
a[x]=y;
if (nxt[x]!=n+1) calc(nxt[x],pre[x]);
if (pre[x]!=0) nxt[pre[x]]=nxt[x];
if (Pre!=0) nxt[Pre]=x;
if (Nxt!=n+1) calc(Nxt,x);
calc(x,Pre);
nxt[x]=Nxt;
}
else ++c,q[++m]=(hh){1,x,y,0,c};
}
solve(1,m);
rep(i,1,c) printf("%lld\n",ans[i]);
return 0;
}