HohoCoder 1184 : 连通性二·边的双连通分量(+原理证明)

时间:2024-01-21 15:56:39

1184 : 连通性二·边的双连通分量

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描述

在基本的网络搭建完成后,学校为了方便管理还需要对所有的服务器进行编组,网络所的老师找到了小Hi和小Ho,希望他俩帮忙。

老师告诉小Hi和小Ho:根据现在网络的情况,我们要将服务器进行分组,对于同一个组的服务器,应当满足:当组内任意一个连接断开之后,不会影响组内服务器的连通性。在满足以上条件下,每个组内的服务器数量越多越好。

比如下面这个例子,一共有6个服务器和7条连接:

其中包含2个组,分别为{1,2,3},{4,5,6}。对{1,2,3}而言,当1-2断开后,仍然有1-3-2可以连接1和2;当2-3断开后,仍然有2-1-3可以连接2和3;当1-3断开后,仍然有1-2-3可以连接1和3。{4,5,6}这组也是一样。

HohoCoder 1184 : 连通性二·边的双连通分量(+原理证明)

老师把整个网络的情况告诉了小Hi和小Ho,小Hi和小Ho要计算出每一台服务器的分组信息。

输入

第1行:2个正整数,N,M。表示点的数量N,边的数量M。1≤N≤20,000, 1≤M≤100,000

第2..M+1行:2个正整数,u,v。表示存在一条边(u,v),连接了u,v两台服务器。1≤u<v≤N

保证输入所有点之间至少有一条连通路径。

输出

第1行:1个整数,表示该网络的服务器组数。

第2行:N个整数,第i个数表示第i个服务器所属组内,编号最小的服务器的编号。比如分为{1,2,3},{4,5,6},则输出{1,1,1,4,4,4};若分为{1,4,5},{2,3,6}则输出{1,2,2,1,1,2}

样例输入
6 7
1 2
1 3
2 3
3 4
4 5
4 6
5 6
样例输出
2
1 1 1 4 4 4

解释:

如果我们删除掉一条边之后图的连通性改变了的话,这样的边(桥)是不是一定不属于双连通子图。

对于一个无向图,当我们把图中所有的桥都去掉以后,剩下的每一个区域就是我们要求的边的双连通分量。

一:直观的做法自然先用上周的算法求出所有桥,去掉所有桥之后再做DFS求出每一个连通子图。

二:“抽象"的算法,通过Tarjan算法当中巧妙地用一个栈来统计出每一个组内的节点:

           因为low[u] == dfn[u],对(parent[u],u)来说有dfn[u] > dfn[ parent[u] ],因此low[u] > dfn[ parent[u]

           

           所以(parent[u],u)一定是一个桥,那么此时栈内在u之前入栈的点和u被该桥分割

       

           则u和之后入栈的节点属于同一个组

  
将从u到栈顶所有的元素标记为一个组,并弹出这些元素。


#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<vector>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=;
const int maxm=;
int low[maxn],dfn[maxn],times;
int Laxt[maxm],Next[maxm],To[maxm],cnt;
int scc_cnt,scc[maxn],Min[maxn];
vector<int>G[maxn];
int head,tail,q[maxm];
void add(int u,int v){
Next[++cnt]=Laxt[u];
Laxt[u]=cnt;
To[cnt]=v;
} void dfs(int u,int pre)
{
q[++head]=u;
dfn[u]=low[u]=++times;
for(int i=Laxt[u];i;i=Next[i]){
int v=To[i];
if(pre==v) continue;
if(!dfn[v]){
dfs(v,u);
low[u]=min(low[u],low[v]);
}
else low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}
if(low[u]==dfn[u]){
scc_cnt++;
while(true){
int v=q[head--];
G[scc_cnt].push_back(v);
scc[v]=scc_cnt;
if(v==u) break;
}
}
} int main()
{
int n,m,i,j,u,v;
scanf("%d%d",&n,&m);
for(i=;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&u,&v);
add(u,v);
add(v,u);
}
dfs(,);
for(i=;i<=scc_cnt;i++){//找最小
int Minnum=G[i][];
for(j=;j<G[i].size();j++){
Minnum=min(Minnum,G[i][j]);
}
Min[i]=Minnum;
}
printf("%d\n",scc_cnt);
for(i=;i<=n;i++)
printf("%d ",Min[scc[i]]);
return ;
}