数论概论读书笔记 41.连分数与佩尔方程

连分数与佩尔方程

通过反复地将小数部分翻到分母上并将整数部分分离，我们可以对任何一个数形成连分数：

连分数在视觉上滑向右下方，将它们写成分数却要花费很多的笔墨和空间，由于所有的分子都是1，故我们要做的就是列出分母，将连分数

简记为[a0,a1,a2,a3,a4,...]$[a_0,a_1,a_2,a_3,a_4,...]$

辣么，当我展开到an$a_n$时，分子分母是一个怎样的情况呢？

下图是2–√=[1,2,2,2,2,...]$\sqrt{2}=[1,2,2,2,2,...]$的前几个收敛项

经过列式子总结，此处略去300字，得到一个公式Pn=anPn−1+Pn−2, P0=a0, P1=a0a1+1$P_n=a_n{P}_{n-1}+P_{n-2},P_0=a_0,P_1=a_0{a}_1+1$

对分母可得到类似的公式，总结成定理

连分数递归公式 设

则分子P0,P1,P2,...$P_0,P_1,P_2,...$由递归公式

P0=a0,P1=a0a1+1,Pn=anPn−1+Pn−2(n≥2)$$P_0=a_0,P_1=a_0{a}_1+1,P_n=a_n{P}_{n-1}+P_{n-2}(n\ge 2)$$

给出，而分母q0,q1,q2,...$q_0,q_1,q_2,...$由递归公式

q0=1,q1=a1,qn=anqn−1+qn−2(n≥2)$$q_0=1,q_1=a_1,q_n=a_n{q}_{n-1}+q_{n-2}(n\ge 2)$$

给出。

证明 使用归纳法

相邻收敛项之差定理 设p0q0,p1q1,p2q2,...$\frac{p_0}{q_0},\frac{p_1}{q_1},\frac{p_2}{q_2},...$ 为连分数[a0,a1,a2,...]$[a_0,a_1,a_2,...]$的收敛项，则：

例如，2–√$\sqrt{2}$的两个收敛项的差：

周期连分数定理

证明 这里不写了

佩尔方程

如果p/q$p/q$是D−−√$\sqrt{D}$的一个收敛项，则p/q≈D−−√$p/q\approx \sqrt{D}$，从而p2q2≈D$\frac{p^2}{q^2}\approx D$

乘以q2$q^2$则p2$p^2$在期望上非常接近Dq2$D{q}^2$，则很有可能得到p2−Dq2=1$p^2-D{q}^2=1$

定理 设D$D$为正整数且非完全平方数。将D−−√$\sqrt{D}$的连分数记为：

而当m$m$为奇数时，可以进行一个平方操作，也可得到解，于是有下面定理

连分数与佩尔方程定理 记D−−√$\sqrt{D}$的连分数为

所以求解佩尔方程的关键在于m−1$m-1$的值是多少，知道m−1$m-1$的值即可递推计算出p,q$p,q$

课后习题