前言
上一节我们介绍了傅里叶变换的物理意义：对原函数进行傅里叶变换后取绝对值得到的曲线正好就是原函数的频率谱。这一节，我们继续通过几个特殊函数来介绍一下傅里叶变换的特点，下一节傅里叶变换在滤波技术中的应用。
傅里叶变换的特点
先来看下面两个高斯函数的傅里叶变换：
可以看出这种高斯函数傅里叶变换后仍然是一个高斯函数，且宽度是有限的，说明高斯函数是一个有限带宽的函数（带宽指频谱上最大非零点对应的频率）。从两幅图的对比可以看出，高斯函数越窄，它的带宽越大，反之高斯函数越宽，带宽越窄。这一关系正是物理学中讲的不确定关系的来源。
下面，我们再来看另一种函数——阶跃函数：
可以看出，相较于平滑的高斯函数，阶跃函数带宽是无限大的。实际上，一个函数变化越陡峭，它的频谱带宽就越大。这一点在光学成像时非常有意义，一副图片越清晰，物体边缘就越陡，它对应的空间频率的带宽就越宽。而通常成像镜头能通过的带宽是有限的，镜头的口径越大，通过的带宽越大，成像也就越清晰。
好的，接下来，再看另一个函数——方波函数：
这里我们把频谱的右半部分进行放大以方便观察。可以看出方波函数的频谱变成了一系列分立的峰，而每个峰的强度是跟上一幅图也就是阶跃函数的频谱强度一致的。当然，真正值得关注的是这些峰的位置，可以看出，除了0以外的第一个峰的位置在1Hz处，正好等于方波的重复频率，我们把这个频率叫做基频。而往右看每一个峰的位置都正好位于整数倍的，即，我们称这些频率为基频的二倍频、三倍频、四倍频。也就是说，对于周期性的函数，它的频谱通常是由一些分立的尖峰组成的，这些尖峰的位置对应于周期函数的基频，二倍频、三倍频等，而每个峰的强度由周期内函数的频谱决定。这一点与光栅衍射非常类似。以周期排布的狭缝组成的光栅为例，在光栅后放置一个透镜。当一束平行光透过这个光栅时，在透镜的焦平面上就能看到一排等间隔的离散光斑，这些光斑的周期就是由光栅的周期决定的，而不同光斑的强度则是由单个狭缝衍射决定的。实际上，我们后面将会介绍到，透镜前表面处与其焦面处的光场分布正是一对傅里叶变换的关系。