(九)【自控原理】(线性系统的时域分析)一阶系统的时域响应

时间:2024-03-27 16:21:48

【自控原理专栏】

B 一阶系统的时域响应

由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统。
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如RC电路:
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典型闭环控制一阶系统是一个惯性环节
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它只有一个极点,在负轴上。


在以下的分析和计算中,均假定系统的工作初始条件为0.

B.a 单位阶跃响应

设系统的输入为单位阶跃函数r(t)=1(t)r(t) = 1(t) ,其拉氏变换 为R(s)=1sR(s)=\frac{1}{s},则输出的拉氏变换为 :
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两边取拉氏反变换得到一阶系统单位阶跃响应:
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单位阶跃响应曲线:
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特点:

  • 1 可以用时间常数T去度量系统的输出量的数值;
    可以用实验方法确定 一阶系统的时间常数T,或者测试所研究一阶系统是否属于一阶系统。
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  • 2 响应系统的斜率可以通过对t求导得到:
    系统运动的最大变化率刚好是初始斜率1T\frac{1}{T}
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利用单位阶跃响应的初始斜率,分析一阶系统的动态性能指标:
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显然,没有峰值,即峰值时间tpt_p和超调量σ\sigma都不存在。

时间常数T反应了 系统的响应速度,T越小,输出响应上升越快,响应过程的 快速性也越好。

B.b 单位脉冲响应

设系统的输入为单位脉冲函数r(t) = δ(t),其拉氏变换为 R(s)=1, 则输出响应的拉氏变换为
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对上式进行拉氏反变换,求得单 位脉冲响应为 :
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特点:

  • 1 可以用时间常数去度量系统的输出量的数值;
  • 2 初始斜率为-1/T2;
  • 3 无超调,不存在稳态分量。

B.c 单位斜坡响应

设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=t,其拉氏变换为R(s)=1s2R(s)=\frac{1}{s^2}, 则输出的拉氏变换为 :
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式子中,tTt-T为稳态分量,TetTTe^{-\frac{t}{T}}为瞬态分量,当tt\rightarrow \infty时,瞬态分量指数衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线如图所示。
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显然,系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而 单调上升,在达到稳态后,它与输入信号同速增长, 但它们之间存在跟随误差。即
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可见,当t趋于无穷大时,误差趋近于T,因此 系统在进入稳态以后,在任一时刻,输出量c (t) 将小于输入量r(t)一个T值,时间常数T越小,系统 跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小

B.d 单位加速度响应

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跟踪误差:e(t)=r(t)-c(t)=Tt-T2(1-e- t/T )随时间推移而增长, 直至无穷。因此一阶系统不能跟踪加速度函数。


结论:

  • 一阶系统的典型响应与时间常数T密切相关。只要时间 常数T小,单位阶跃响应调节时间小,单位斜坡响应稳态 值误差也小。但一阶系统不能跟踪加速度函数。

  • 线性系统对输入信号导数的响应,等于系统对输入信号 响应的导数。
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    线性定常系统的输出响应之间具有如下关系:
    前者是后者的导数,后者是前者的积分:
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  • 注意:对于线性时变系统和非线性系统,这一特性并不适用

  • 推广来讲:线性定常系统对某种输入信号导数的响应,等于对该输入信号响应的导数;对某种输入信号积分的响应,等于系统对该输入信号响应,积分常数由初始条件给出。因此,研究线性定常系统的时间响应,不必对每种输入信号形式进行测定和计算,可以只采用其中一种典型输入信号,如单位阶跃信号。

例题:
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