【POJ 1061】青蛙的约会

时间:2021-12-19 12:05:14

Description

两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

题意:

起点分别为x,y,一次分别往前跳m,n米,前进的路是环形,长度为L,求跳几次后重合,或不可能重合。

分析:

重合时跳了t次,可得(x+mt)%L=(y+nt)%L

因此x-y+(m-n)t=kL (其中k为一个整数)即 

     Lk+(n-m)t=x-y

形式上和 ax+       by=c     相同

这个式子里L、n-m、x-y分别为系数a、b、c,未知量k和t为方程的x和y,因此只要求解不定方程ax+by=c的y的最小正整数解即可。

接下来要用到扩展欧几里德算法解同余线性方程。

求出ax+by=c的一个解后,y可能小于0,而通解是x=x0+b/gcd(a,b),y=y0+a/gcd(a,b);

d=gcd(a,b);最小正整数的y=(y0%(a/d)+a/d)%(a/d)

这个的理解可以举个例子:y0=-12,a/d=8,y1=y+8=-4,y2=y0+2*8=4,y2为y的最小正整数解,y2=(y0%8+8)%8=4%8=4。

代码:

 //直接模拟TLE,要用扩展欧几里德求解同余线性方程,ヽ(≧Д≦)ノ
#include<stdio.h>
#define ll long long
ll x,y,m,n,l,t,p,q;
ll exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y)
{
if(b==){x=;y=;return a;}
ll r=exgcd(b,a%b,x,y);
ll tmp=x;x=y;y=tmp-a/b*y;
return r;
}
void modular_linear_equation(ll a,ll b,ll c)
{
ll x,y,d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d)printf("Impossible\n");
else printf("%lld",((y*c/d)%(a/d)+a/d)%(a/d));
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&m,&n,&l);
modular_linear_equation(l,n-m,x-y);
return ;
}