状态观测控制器设计与仿真验证

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目录

• 状态观测器的提出
• 状态观测器定义
• 状态观测器的设计原理
• 状态观测器的设计
• 状态观测器的仿真验证

状态观测器的提出

        并不是所有系统的状态变量都是很容易能直接检测得到的，大多系统的状态变量都是不容易直接检测到的，有些状态变量甚至根本无法检测。这样，就提出了所谓的状态观测和状态重构问题，由龙伯格（Luenberger）提出的状态观测器理论，所以也叫Luenberger观测器。通过系统的输入和输出来估计状态，从而解决了在确定性条件下受控系统的重构问题，从而使状态反馈成为一种可实现的控制率。

状态观测器定义

        设线性定常系统的状态矢量x不能直接检测。如果动态系统以的输入u和输出y作为其输入量，能产生一组输出量渐近于x，即，则称为的一个状态观测器。

        根据状态观测器的的定义，我们可以知道构造观测器的原则是：

        (1)观测器应以观测器的输入u和输出y作为输入量。

        (2)为了满足，必须完全能观，或其不能观子系统是渐进稳定的。

        (3)的输出应以足够的速度渐进与x,即应有足够宽的频带。但从抑制干扰角度看，又希望频带不要太宽。因此，要根据具体情况予以兼顾。

        (4)在结构上要尽量简单。即具有尽可能低的维数，以便于物理实现。

状态观测器的设计原理

        给出单输入单输出系统如下，假设给出的系统是能观()的,如果不能观，我们设计降阶观测器，观测他一部分状态。

                                                                                                             

        根据观测器的设计原则，闭环观测器的的状态方程设计如下：

      我们可以很容易知道闭环观测器的误差状态 

                                                    ​​​​​​ ​​​​​                                               

        证明确定使渐进与x的条件:

对误差求导，我们可以得到如下解：

由上式可知，当（A-GC）的特征值均为负实部，才能满足

状态观测器的设计

        假设一个线性系统如下：

       

将上式写成状态空间的形式如下，设

                                                                                                                

其中,

        判断系统是否能观：，由此可知，此系统是满秩，所以能观，根据状态观测器的构造原则可知，可以构造观测器。

        原系统构建：若原系统渐进稳定，那么矩阵A满足Hurwitz条件，即系统A的所有特征值全部小于0.即

因此特征值和积需满足：，取

        观测器构建：

观测器的误差为：

我们最初目的是为了让，也就是目的让误差趋于0。此时我们需要让矩阵A-GC满足Hurwitz条件，即：

将带入上式中，我们并求det(I-(A-GC)),使其满足Hurwitz条件

det(I-(A-GC))=,

因此特征值和积需满足,,取

状态观测器的仿真验证

控制输入，也就是控制器，我们输入一个正弦函数

x1的状态，以及x1的状态观测

 x2的状态，以及x2的状态观测

 

代码：

clc 
clear all
close all

stepLength = 0.002;                               
N = 100000;                                        
timeStart = 0;                                     
timeEnd = N * stepLength;                          
t = timeStart:stepLength:timeEnd ; 
u = sin(t);
k = 1;  % 迭代起始步数
x1 = zeros(size(t));
x2 = zeros(size(t));
x1(:,1) = 1;
x2(:,1) = 1;
x1_hat = zeros(size(t));
x2_hat = zeros(size(t));
x1_hat(:,1) = 0.2;
x2_hat(:,1) = 0.2;
for tt = timeStart : stepLength: (N-1)*stepLength
    k

    % 原系统
    dx1 = x2(:,k);
    dx2 = -x1(:,k)-2*x2(:,k)+5*u(:,k);
    
    % 观测器
    dx1_hat = x2_hat(:,k)+5*(x1(:,k)-x1_hat(:,k));
    dx2_hat = -x1_hat(:,k)-2*x2_hat(:,k)+5*u(:,k)+2*5*(x1(:,k)-x1_hat(:,k));
    
    %
    % 更新坐标
    x1(:,k+1) = x1(:,k) + dx1 * stepLength;                                            
    x2(:,k+1) = x2(:,k) + dx2 * stepLength;  
    
    x1_hat(:,k+1) = x1_hat(:,k) + dx1_hat * stepLength;                                            
    x2_hat(:,k+1) = x2_hat(:,k) + dx2_hat * stepLength;  
    k = k+1;  
end
figure
plot(t,x1,'linewidth',1.5)
hold on
plot(t,x1_hat,'--red','linewidth',1.5)
hold on
xlabel('Time(Sec)')
legend('x_{1}','observe x_{1}')

figure
plot(t,x2,'linewidth',1.5)
hold on
plot(t,x2_hat,'--green','linewidth',1.5)
hold on
xlabel('Time(Sec)')
legend('x_{2}','observe x_{2}')