bzoj-4318 OSU! 【数学期望】

时间:2023-01-18 06:19:06

Description

osu 是一款群众喜闻乐见的休闲软件。 
我们可以把osu的规则简化与改编成以下的样子: 
一共有n次操作,每次操作只有成功与失败之分,成功对应1,失败对应0,n次操作对应为1个长度为n的01串。在这个串中连续的 X个1可以贡献X^3 的分数,这x个1不能被其他连续的1所包含(也就是极长的一串1,具体见样例解释) 
现在给出n,以及每个操作的成功率,请你输出期望分数,输出四舍五入后保留1位小数。 
 
 

Input

第一行有一个正整数n,表示操作个数。接下去n行每行有一个[0,1]之间的实数,表示每个操作的成功率。 
 
 

Output

只有一个实数,表示答案。答案四舍五入后保留1位小数。 
 

Sample Input

3
0.5
0.5
0.5

Sample Output

6.0

HINT

【样例说明】 
000分数为0,001分数为1,010分数为1,100分数为1,101分数为2,110分数为8,011分数为8,111分数为27,总和为48,期望为48/8=6.0 
N<=100000
 
题解
  大牛都说是水题水题,然而被折磨的欲仙欲死,不过终于在 s_z_l老爷 和 Ngshily大爷 的帮助下搞清楚了,写一写帮助后人吧。。。
  1>
    首先我们要求的是E(x^3),我们需要明确这里的x^3指的是得分。
    我们按照原本的思路,考虑每一位的∆,那么我们假设这一位是1,那么 E((x + 1)^3) = E(x^3) + ∆;
      ∆ = E((x + 1) ^ 3) - E(x^3) = E((x + 1) ^ 3 - x ^ 3) = E(x^2 + 2x + 1 + x^2 + x + x^2)  = E(3x^2 + 3x + 1) = 3E(x^2) + 3E(x) + 1.
    所以我们得到了∆的表达式,那么这一位是1的概率是pi,所以需要给∆乘上pi --> E((x + 1)^3) = E((x)^3) + p[x + 1] * (3E((x) ^ 2) + 3E(x) + 1).
  
  2>
    然后我们需要计算E(x^2), E(x) 的价值,我们依然要明确这里的x是结尾连续1的长度的期望,和上面的x并不是一个意思,我们用l代替。
    同样的我们假设这一位是1,那么E((l + 1)^2) = E(l^2) + ∆    -->    ∆ = 2E(l) + 1
    所以我们应该整个乘上p[l + 1],所以E((l + 1) ^ 2) = p[l + 1] * (E(l ^ 2) + ∆).
 
  遇到的几个问题:
    1> 首先我们需要明确 E(x^3) 这个是答案值,我们这样考虑,E(x^3) = E((x - 1)^3) + ∆。E((x - 1)^3)是不变的,我们需要给他加上新的值乘上概率,也就是说我们应该写成 E(x^3) = E((x - 1) ^ 3) + p[x] * ∆. 注意在∆前面乘上p[x],这代表着这一位的可能取值。
    2> 在递推过程中,∆ = 3E((x - 1)^2) + 3E(x - 1) + 1。也就是说这一位需要的是上一位的E(x^2)和E(x)。这里的x是指长度,所以我们在解决E(x^2)的问题时,同样可以一样考虑,E(x^2) = E((x - 1) ^ 2) + ∆,但是注意这是这一位取1的值的可能取值,那么我们应该E(x^2) = p[x] * (E((x - 1)^2) + ∆).
    3> 注意,1>和2>中p[x]的乘的地方是不一样的,应为一个是累加贡献,而另一个是加上以后才是这一位如果取一的取值。
    4> 在解决E(x^3)的时候,如果用E(x^3) - E((x - 1) ^ 3) = 3E(x^2) - 3E(x) + 1。但是这是不一样的,应为我们在用E((x - 1)^3) 去推理 E(x^3) 所以后面应该是用3E((x - 1)^2) + 3E(x - 1) + 1.
 #include <bits/stdc++.h>
#define rep(i, a, b) for (int i = a; i <= b; i++)
#define drep(i, a, b) for (int i = a; i >= b; i--)
#define REP(i, a, b) for (int i = a; i < b; i++)
#define pb push_back
#define mp make_pair
#define clr(x) memset(x, 0, sizeof(x))
#define xx first
#define yy second
using namespace std;
typedef long long i64;
typedef pair<int, int> pii;
const int inf = ~0U >> ;
const i64 INF = ~0ULL >> ;
//***************************************
int main() {
int n;
scanf("%d", &n);
double ans(), l(), l2(), p;
rep(i, , n) {
scanf("%lf", &p);
ans += p * ( * l2 + * l + );
l2 = p * (l2 + * l + );
l = p * (l + );
}
printf("%.1lf\n", ans);
return ;
}