设M=52003+72004+92005+112006，求证8|M。
证明：
前提：对于，52003让我们去构造8，即用8-3替换5
第一步：用8-3替换5，且仅替换一个,
第二步：进行分项，则前一项可以被8整除，余下另一项
第三步：对余下的一项继续用8-3替换一个5
第四步：分项再一次留下一项；
进行循环，最终留下一项-32003
对其他三项进行相似的操作的
12004，12005，32006
则，对-32003，32006进行变换
得，-3*91001，91003,
最后得到的是
-3+1+1+1=0.
所以，命题得证，8|M。