这里用到的还是最小二乘方法,和上一次这篇文章原理差不多。
就是首先构造最小二乘函数,然后对每一个系数计算偏导,构造矩阵乘法形式,最后解方程组。
比如有一个二次曲面:z=ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f
首先构造最小二乘函数,然后计算系数偏导(我直接手写了):
解方程组(下图中A矩阵后面求和符号我就没写了啊),然后计算C:
代码如下:
clear all;
close all;
clc; a=;b=;c=-;d=;e=;f=; %系数
n=:0.2:;
x=repmat(n,,);
y=repmat(n',1,96);
z=a*x.^+b*y.^+c*x.*y+d*x+e*y +f; %原始模型
surf(x,y,z) N=;
ind=int8(rand(N,)*+); X=x(sub2ind(size(x),ind(:,),ind(:,)));
Y=y(sub2ind(size(y),ind(:,),ind(:,)));
Z=z(sub2ind(size(z),ind(:,),ind(:,)))+rand(N,)*; %生成待拟合点,加个噪声 hold on;
plot3(X,Y,Z,'o'); A=[N sum(Y) sum(X) sum(X.*Y) sum(Y.^) sum(X.^);
sum(Y) sum(Y.^) sum(X.*Y) sum(X.*Y.^) sum(Y.^) sum(X.^.*Y);
sum(X) sum(X.*Y) sum(X.^) sum(X.^.*Y) sum(X.*Y.^) sum(X.^);
sum(X.*Y) sum(X.*Y.^) sum(X.^.*Y) sum(X.^.*Y.^) sum(X.*Y.^) sum(X.^.*Y);
sum(Y.^) sum(Y.^) sum(X.*Y.^) sum(X.*Y.^) sum(Y.^) sum(X.^.*Y.^);
sum(X.^) sum(X.^.*Y) sum(X.^) sum(X.^.*Y) sum(X.^.*Y.^) sum(X.^)]; B=[sum(Z) sum(Z.*Y) sum(Z.*X) sum(Z.*X.*Y) sum(Z.*Y.^) sum(Z.*X.^)]'; C=inv(A)*B; z=C()*x.^+C()*y.^+C()*x.*y+C()*x+C()*y +C(); %拟合结果 mesh(x,y,z)
结果如下,深色曲面是原模型,浅色曲面是用噪声数据拟合的模型:
注:加权最小二乘可以参考我后来的这篇文章。